En la referencia $[1]$ vi una fórmula muy ordenada, dada por:
$$ \mathcal{E} =: \int_{\Sigma} d^{3}x T_{00} = \frac{1}{8\pi G}\int_{\Sigma} d^{3}x G_{00}. \tag{1}$$
El autor afirmó que esta es la "energía en un espacio-tiempo". A primera vista, nada me molesta en absoluto, aunque parece un poco de notación vaga (y esa es la razón de esta pregunta). Sin embargo, son solo las Ecuaciones de Campo de Einstein, por lo que debe ser físicamente correcto.
Mi duda es: ¿los incrementos de $d^{3}x$ son solo volumen espacial o deben ser un $d^{4}x$ en su lugar? O, en otras palabras, la ecuación $(1)$ no debería escribirse como
$$\mathcal{E} =: \frac{1}{8\pi G}\int_{\Sigma} d^{4}x G_{00} =$$ $$= \frac{1}{8\pi G}\Bigg[\int^{x^{3}_{2}}_{x^{3}_{1}} \int^{h_{2}(x^{3})}_{h_{1}(x^{3})} \int^{g_{2}(x^{3},x^{2})}_{g_{1}(x^{3},x^{2})} \int^{q_{2}(x^{3},x^{2},x^{1})}_{q_{1}(x^{3},x^{2},x^{1})} G_{00}\sqrt{-g}dx^{0}dx^{1}dx^{2}dx^{3}\Bigg] \tag{2}$$
para realizar el cálculo explícito (dado un $G_{00}$ por supuesto)?
$$ * * * $$
$[1]$ LÜST.D; VLEESHOUWERS.W; Black Hole Information and Thermodynamics. página 28.
