- En algunos casos usamos la relación AM>GM para encontrar el mínimo, por ejemplo tomemos $f(x)=x+\frac1x$ $[x\gt 0]$ usando el resultado AM>GM podemos encontrar el mínimo como $2$. Es el mismo mínimo que obtenemos si usamos los métodos de la derivada.
- Pero ¿por qué obtenemos el mismo mínimo? ¿por qué no decir que obtenemos $f(x)>1$? Esta afirmación ($f(x)>1$) no es falsa pero $1$ simplemente no es el mínimo absoluto. ¿Podemos demostrar que la relación AM>GM siempre dará el mínimo absoluto en el dominio dado? (Nota: No estoy pidiendo la prueba del resultado AM>GM.)
- Por lo tanto, dado que estamos obteniendo el mínimo absoluto usando el resultado AM>GM, concluyo que hay algún tipo de relación entre aplicar el resultado $AM>GM$ y utilizar los métodos de la derivada. ¿Hay alguna forma intuitiva de entender esa relación?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usar AM-GM no siempre da un valor extremo. También necesitamos considerar el caso de igualdad que ocurre. En AM-GM eso sucede para el caso de igualdad de todas las variables, lo cual no siempre es bueno.
Además, bajo AM-GM tenemos la convexidad de $\ln$, que tiene una relación con la segunda derivada.
También hay muchos métodos para encontrar un valor extremo con derivadas y estos métodos no tienen ninguna relación con AM-GM.
Por ejemplo.
Supongamos que necesitamos encontrar el valor máximo de $(a^2-ab+b^2)(a^2-ac+c^2)(b^2-bc+c^2)$ utilizando AM-GM, donde $a$, $b$ y $c$ son no negativos y cumplen $a+b+c=3$.
Vemos que $(a,b,c)=(2,1,0)$ da un valor de $12$.
Vamos a demostrar que $12$ es un valor máximo.
No podemos usar AM-GM aquí en la siguiente forma. $$\prod_{cyc}(a^2-ab+b^2)\leq\left(\frac{\sum\limits_{cyc}(a^2-ab+b^2)}{3}\right)^3$$ porque no conserva el caso de igualdad.
Para $(a,b,c)=(2,1,0)$ obtenemos: $$a^2-ab+b^2=3,$$$$a^2-ac+c^2=4$$ y $$b^2-bc+c^2=1,$$ lo cual no es bueno porque necesitamos $$a^2-ab+b^2=a^2-ac+b^2=b^2-bc+c^2,$$ lo cual es incorrecto y dice que obtuvimos una desigualdad incorrecta: $$\left(\frac{\sum\limits_{cyc}(a^2-ab+b^2)}{3}\right)^3\leq12,$$ lo cual es fácil de entender después de verificar $(a,b,c)=(2,1,0).$
Por cierto, la siguiente solución conserva el caso de igualdad.
Supongamos que $a\geq b\geq c$.
Entonces, $$(a^2-ab+b^2)(a^2-ac+c^2)(b^2-bc-c^2)\leq(a^2-ab+b^2)a^2b^2=$$ $$=((a+b)^2-3ab)a^2b^2\leq(9-3ab)a^2b^2=12(3-ab)\left(\frac{ab}{2}\right)^2\leq$$ $$\leq12\left(\frac{3-ab+\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}}{3}\right)^3=12.$$ Es decir, resolvimos este problema usando AM-GM.
De hecho, fue posible usar AM-GM porque para $(a,b,c)=(2,1,0)$ tenemos $$3-ab=\frac{ab}{2}=\frac{ab}{2}.$$ Podemos usar el método de Multiplicadores de Lagrange aquí (es decir, podemos usar derivadas),
pero no es tan fácil aquí.
