Independiente e idéntico

Question

Tengo $X_1,X_2, \cdots X_n$ que son iid de $N(\mu,\sigma)$. En mi derivación de la expresión

$E \big( \sum^n_{i=1} X_i^2 \big)$

He escrito

$E \big( \sum^n_{i=1} X_i^2 \big) = \sum^n_{i=1} E \big( X_i^2 \big) = n E \big( X_i^2 \big) $

¿Es cierto que el primer $=$ es porque $X_1,X_2, \cdots X_n$ son independientes y el segundo $=$ es porque son idénticos?

Answer 1

El operador de valor esperado, $\mathbb{E}[.]$, es lineal en el sentido de que

• $\mathbb{E}[X_1+X_2+\cdots+X_n]=\mathbb{E}[X_1]+\mathbb{E}[X_2]+\cdots+\mathbb{E}[X_n]$
• $\mathbb{E}[\lambda X]=\lambda\mathbb{E}[X] ,\quad \lambda\in \mathbb{R}.$

Tenemos $$\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right]=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}[X_i^2]$$ $X_1,X_2,\cdots,X_n$ tienen la misma distribución, así que $$\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right]=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}[X^2_i]=\sum_{i=1}^{n}(\sigma^2+\mu^2)=n(\sigma^2+\mu^2)$$