¿Qué es un conjunto? Sé que los resultados, tales como la paradoja de Russell significa que la definición no es tan sencillo como uno podría esperar.
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La idea intuitiva de un conjunto es una colección cuya identidad está completamente determinado por sus miembros. La paradoja de Russell resultó, en efecto, a partir de tomar cualquier condición para determinar una colección de miembros y por lo tanto un conjunto. (Russell formulado su paradoja en contra de Gottlob Frege la Ley fundamental de V que tiene como consecuencia, que cada condición se determina un conjunto.)
En una manera, no existe una noción de un conjunto." En respuesta a la Paradoja de Russell (y otros, como el Burali-Forti Paradoja), varios axiomatizations de la teoría de conjuntos se han desarrollado para tratar de capturar y procesar precisa la noción de un conjunto.
Los resultados debido a la Goedel y Cohen muestran que ampliamente aceptado los principios que rigen establece como capturado por la Zermelo–Fraenkel axiomatization no decidir interesante y polémico "superior" a las afirmaciones acerca de los conjuntos (el Axioma de Elección y la Hipótesis continua).
Así, de una manera real, no hay consenso en la comunidad matemática acerca de lo que un conjunto es ni acerca de lo que los principios de dar una descripción completa de conjuntos. (En la práctica, la mayoría de los matemáticos uso de Zermelo–Fraenkel de la teoría de conjuntos y hacer atractivo el Axioma de Elección, a pesar de que muchos prefieren para evitar la tarde, cuando sea posible. Algunos se niegan a aceptar de plano.)
JoshL
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En muy ingenua teoría de conjuntos (es decir en el siglo 19), un conjunto que fue llevado a ser una colección arbitraria de objetos. La dificultad consiste en decir que las cosas que parecen que deben ser colecciones en realidad están bien definidas las colecciones. Las paradojas muestran que no está claro si este concepto de conjunto es coherente, a pesar de que es el lenguaje natural de significado de la palabra "conjunto".
Debido a que el concepto parece mal definidos, casi todos los contemporáneos de teoría de conjuntos ofertas con una noción más restrictiva: puro, bien fundada conjuntos. Estos son los juegos que pueden ser construidos a partir con el conjunto vacío y tomar powersets y subconjuntos. Los únicos elementos de estos conjuntos son otros de los conjuntos.
Estos conjuntos se definen en etapas. En la primera etapa, sólo tiene el conjunto vacío. En cada escenario más grande, agregar el powerset de cada conjunto que ya ha sido construido. Hay una etapa para cada número ordinal, y la colección de todos los juegos disponibles después de la etapa de $\alpha$ es nombrado $V_\alpha$. Simbólicamente, tenemos $V_0 = \emptyset$ y, en general, $$ V_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} P(V_\beta) $$
Para cada ordinal $\alpha$, $V_\alpha$ es un conjunto. La unión de $V = \bigcup_\alpha V_\alpha$ es una clase adecuada. La secuencia de $( V_\alpha )$, indexado por los números ordinales, es conocida como la jerarquía acumulativa.
Los "conjuntos" que los matemáticos de estudio y que se formalizan en Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos son exactamente los conjuntos en $V$. Por otra parte, la formalización de las matemáticas en la teoría de conjuntos no requiere de ningún otro de los conjuntos que los de $V$ (que es la razón por la que esencialmente todas las matemáticas pueden formalizarse en ZFC).
Así, en la práctica matemática (fuera de la teoría de conjuntos), la respuesta a "¿qué es un conjunto de" es "un conjunto es un elemento de $V$".
