Semejanza entre $\sum\limits_{n=1}^\infty \sin(2nx)$ y $\cot x$

Question

¿Hay alguna razón por la que esta suma $$\sum\limits_{n=1}^\infty \sin(2nx)$$

Tiene cierta similitud con la función cotangente?

Answer 1

Desde la fórmula

$$ \sum_{k=1}^{n} \sin (2k\theta) = \frac{1}{2}\cot \theta - \frac{1}{2}\frac{\cos(2n+1)\theta}{\sin\theta}, $$

parece que la envolvente superior está dada por $ \frac{1}{2}(\cot\theta + |\csc\theta|)$ y de igual manera la envolvente inferior está dada por $\frac{1}{2}(\cot\theta - |\csc\theta|)$. Cuando $0 < \theta < \pi$, podemos simplificarlas como

$$\frac{1}{2}(\cot\theta + \csc\theta) = \frac{1}{2}\cot\frac{\theta}{2} \quad\text{y}\quad \frac{1}{2}(\cot\theta - \csc\theta) = - \frac{1}{2}\tan\frac{\theta}{2}. $$