¿Bajo qué condición $(A^T)(B \times C) + (B\times C)^T A = 2A^T(B \times C)$, A, B, C vectores?

Question

En mi libro de mecánica clásica hay una fórmula que dice

$(\dot r_c + \omega_i \times d_i)^T (\dot r_c + \omega_i \times d_i)$

da lugar a

$\dot r_c^T \dot r_c + 2\dot r_c^T(\omega_i \times d_i) + (\omega_i \times d_i)^T(\omega_i \times d_i)$

No entiendo cómo pudieron colapsar la expresión media así

¿Alguien puede dar una condición para la cual

$A^T(B \times C) + (B\times C)^T A = 2A^T(B \times C)$

Answer 1

Se mantiene sin condición para cualquier combinación de tres vectores $A$, $B$, $C$.

Tenga en cuenta que $(B \times C)^T A$ es una cantidad escalar, al igual que $A^T(B \times C)$. Por lo tanto, cada uno es simétrico en el sentido de ser igual a su propia transposición. Por lo tanto, tenemos

$(B \times C)^T A = ((B \times C)^T A)^T$ $= A^T ((B \times C)^T)^T = A^T(B \times C), \tag{1}$

de donde

$A^T(B \times C) + (B \times C)^TA = 2A^T(B \times C), \tag{2}$

¡Y eso es todo!