Las probabilidades de que algo suceda

Question

En el caso del evento $A$, que tiene una posibilidad del $40\%$ de ocurrir, hay una posibilidad del $60\%$ de anotar un punto. Si el evento $A$ no sucede, el evento $B$ tendría una posibilidad del $60\%$ de ocurrir, lo cual resultaría en una posibilidad del $39\%$ de anotar un punto. Si ninguno de los eventos sucede, las posibilidades de anotar un punto son del $30\%$. ¿Cuáles son las posibilidades de anotar un punto?

Hasta ahora he intentado $0.4\times0.6+0.6\times0.6\times0.39+0.6\times0.4\times0.3$ lo cual daría un resultado de $0.4524$ lo que sería aproximadamente un $45\%$ pero no estoy seguro de si es correcto.

Answer 1

Podemos usar la ley de probabilidad total dos veces para esto.

Con el evento $S$ como el evento en el que se anota un punto, y $'$ indicando el complemento de un evento:

\begin{align} \mathbb P(S) = \mathbb P(S|A)\mathbb P(A) + \mathbb P (S|A')\mathbb P(A') \quad \text{&} \quad \\ \mathbb P (S|A') = \mathbb P (S|B, A')\mathbb P(B|A') + \mathbb P (S|B', A')\mathbb P(B'|A') \\ \implies \mathbb P(S) = \mathbb P(S|A)\mathbb P(A) + \mathbb P (S|B, A')\mathbb P(B|A')\mathbb P(A') + \mathbb P (S|B', A')\mathbb P(B'|A')\mathbb P(A') \\ = .6 \cdot .4 + .39 \cdot .6 \cdot .6 + .3 \cdot.4 \cdot .6 \\ = 0.4524 \end{align}