Considera la sucesión $(u_n)$, definida como $\left\{ \begin{aligned} u_1 &= 0\\ u_{n + 1} &= \dfrac{u_n + \sqrt{6u_n + 3}}{4}, \forall n \in \mathbb Z^+ \end{aligned} \right.$. Sabiendo que $a$ y $b$ son dos números reales distintos de cero tales que $\lim[a^n(u_n - 1)] = b$, calcula el valor de $a + b$.
[Para contexto, esta pregunta proviene de un examen que consiste en 50 preguntas de opción múltiple con un límite de tiempo de 90 minutos. Las calculadoras son el único dispositivo electrónico permitido en la sala de pruebas. (¿Conoces esas calculadoras científicas que se venden en papelerías y a veces librerías? Son las buenas.) Necesito una solución que funcione dentro de estas restricciones. Gracias por tu cooperación, como siempre. (¿Necesito sonar tan profesional?)
Por cierto, si la redacción del problema suena brusca, lamento eso. No soy un experto en traducción de documentos.]
¿Por qué estaba esta pregunta allí? ¿POR QUÉ ESTO ESTABA EN MI EXAMEN DE MEDIO SEMESTRE? (>_<)
No necesito respuestas, necesito enojarme. (Esto es una broma, tómalo con prudencia. En realidad necesito respuestas a este problema.)
Estas son mis observaciones.
Según WolframAlpha, el término general de la sucesión anterior es $$u_n = \left(1 - \dfrac{1}{2^{n - 1}}\right)\left(1 - \dfrac{2 - \sqrt 3}{2^{n - 1}}\right), \forall n \in \mathbb Z^+$$
Si definimos las sucesiones $(v_n)$ y $(w_n)$ como $v_n = 1 - \dfrac{1}{2^{n - 1}}, \forall n \in \mathbb Z^+$ y $w_n = 1 - \dfrac{2 - \sqrt 3}{2^{n - 1}}, \forall n en \mathbb Z^+$ respectivamente, entonces se puede obtener que $u_n = v_nw_n, \forall n en \mathbb Z^+$ y $$\left\{ \begin{aligned} v_1 &= 0\\ v_{n + 1} &= \dfrac{v_n + 1}{2}, \forall n \in \mathbb Z^+ \end{aligned} \right. \text{ y } \left\{ \begin{aligned} w_1 &= -1 + \sqrt 3\\ w_{n + 1} &= \dfrac{w_n + 1}{2}, \forall n \in \mathbb Z^+\end{aligned} \right.$$
Eso significa que $$\begin{aligned} v_{n + 1}w_{n + 1} = \dfrac{v_nw_n + \sqrt{6v_nw_n + 3}}{4} &\iff \dfrac{(v_n + 1)(w_n + 1)}{4} = \dfrac{v_nw_n + \sqrt{6v_nw_n + 3}}{4}\\ &\iff v_n + w_n + 1 = \sqrt{6v_nw_n + 3}\\ &\iff w_n = (2v_n - 1) + \sqrt 3(1 - v_n), \forall n \in \mathbb Z^+\end{aligned}$$
De todas maneras, sobre la sucesión $(u_n)$ en sí, es estrictamente creciente acotada. Más específicamente, tenemos que $u_n \in [0; 1), \forall n en \mathbb Z^+$. Lo mismo ocurre para las sucesiones $(v_n)$ y $(w_n)$.
De hecho, $v_{n + 1} = \dfrac{v_n + 1}{2}$ y $w_{n + 1} = \dfrac{w_n + 1}{2}$, esos se ven familiares, mmm~
Por supuesto, olvidé. Si dejamos $v_n = \cos a_n, \forall n en \mathbb Z^+$ y $w_n = \cos b_n, \forall n en \mathbb Z^+$, entonces se puede obtener que $$\left\{ \begin{aligned} a_1 &= \dfrac{\pi}{2}\\ \cos(a_{n + 1}) &= \cos^2\dfrac{a_n}{2}, \forall n \in \mathbb Z^+ \end{aligned} \right. \text{ y } \left\{ \begin{aligned} b_1 &= \arccos(-1 + \sqrt 3)\\ \cos(b_{n + 1}) &= \cos^2\dfrac{b_n}{2}, \forall n en \mathbb Z^+ \end{aligned} \right.$$
No importa, eso no funcionó tan bien como había pensado.
¿Qué estaba haciendo todo este tiempo? Puede que te estés preguntando. Bueno, estoy tratando de encontrar el término general de la sucesión $(u_n)$ sin necesidad de una computadora portátil, ya que no puedes llevar eso a la sala de pruebas.
De todas maneras, para la segunda parte del problema, primero que todo, deja $\lim u_n = m$, entonces tenemos que $m = \dfrac{m + \sqrt{6m + 3}}{4} \iff m = 1$. De nuevo, lo mismo ocurre para las sucesiones $(v_n)$ y $(w_n)$. Además, $$\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} 2^n(v_n - 1) &= -2\\ 2^n(w_n - 1) &= 2\sqrt 3 - 4 \end{aligned} \right. &\iff \left\{ \begin{aligned} 2^n(v_n + w_n - 2) &= 2\sqrt{3} - 6\\ 4^n(v_n - 1)(w_n - 1) &= 8 - 4\sqrt{3} \end{aligned} \right.\\ &\implies 4^n\left[u_n - \left(\dfrac{2\sqrt{3} - 6}{2^n} + 2\right) + 1\right] = 8 - 4\sqrt{3}\\ &\iff 4^n(u_n - 1) = (8 - 4\sqrt{3}) - 2^n(6 - 2\sqrt{3})\\ &\iff 2^n(u_n - 1) = \dfrac{(8 - 4\sqrt{3})}{2^n} - (2\sqrt{3} - 6), \forall n en \mathbb Z^+\\ &\implies \lim[2^n(u_n - 1)] = 2\sqrt{3} - 6 \end{aligned}$$
En conclusión, $a + b = 2 + (2\sqrt{3} - 6) = 2\sqrt{3} - 4$.
Mi pregunta está más enfocada en la primera parte del problema, en cómo encontrar el término general de la sucesión $(u_n)$. Como siempre, gracias por leer (y aún más si puedes ayudar~) Por cierto, las opciones fueron $-1, \sqrt 3 - 1, 2\sqrt 3 - 4$ y $4 - 2\sqrt 2$.
