¿Sería un equilibrio de Nash en un juego en el que solo se permiten estrategias puras también un equilibrio de Nash en un juego en el que se permiten también estrategias mixtas?
Respuesta
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Sí.
Consideremos un juego de movimientos simultáneos. Denotemos la función de pago por $\pi$, la estrategia del jugador $i$ por $s_i$, y el perfil estratégico de los otros jugadores por $s_{-i}$. El equilibrio de Nash, si solo se permiten estrategias puras, implica $$\pi_i(s_i,s_{-i})\ge \pi_i(\hat{s}_i,s_{-i}) \forall i, \forall \hat{s}_i\neq s_i,$$ es decir, $s_i$ es una mejor respuesta al perfil $s_{-i}$ de todos los otros jugadores, y esto se cumple para todos los jugadores, según la definición de un equilibrio de Nash.
Ahora supongamos que se permite la mezcla (pero no se agregan nuevas estrategias puras al conjunto de estrategias). Consideremos nuevamente al jugador $i$. Manteniendo las estrategias de todos los otros jugadores $-i$ fijas. ¿Es $s_i$ - la estrategia pura - aún la mejor respuesta en este caso, y por lo tanto el perfil estratégico anterior un equilibrio de Nash?
Sí, porque el pago de jugar, por ejemplo, la estrategia $s'$ con probabilidad $p$ y jugar $s''$ con $1-p$ es $$p\pi_i(s',s_{-i})+(1-p)\pi_i(s'',s_{-i}),$$ es decir, es una combinación lineal de los pagos de las estrategias puras. Por lo tanto, $$\pi_i(s_i,s_{-i})\ge \pi_i(\hat{s}_i,s_{-i}) \forall i, \forall \hat{s}_i\neq s_i \\ \implies \\\pi_i(s_i,s_{-i})\ge p\pi_i(s',s_{-i})+(1-p)\pi_i(s'',s_{-i}) \forall s',s'', \forall i,$$ es decir, el pago de jugar la estrategia pura (dado que todos los otros jugadores se mantienen con sus estrategias puras $s_{-i}$) es al menos tan grande como el pago esperado de jugar cualquier estrategia mixta, es decir, sigue siendo una mejor respuesta.
Esto se debe a que ya era una mejor respuesta en primer lugar cuando solo se permiten estrategias puras, y una estrategia mixta nunca puede superar a cualquier estrategia pura sobre la que se mezcle, porque el pago esperado de la mezcla es una combinación lineal de los pagos de las estrategias puras.
Nota final: Puede ser que aún existan equilibrios adicionales de estrategias mixtas, pero los equilibrios de estrategias puras sobreviven de cualquier manera.
