Superior e inferiores índices al identificar vectores del espacio tangente con el espacio vectorial subyacente

Question

Dado un $n$-manifold dimensional $M$, podemos construir una base para cada espacio tangente $T_pM$ a partir de una base de coordenadas local $\{x^i\} \subset \mathbb{R}^n$ como $$\vec{e}_i = \left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right) \quad \forall\, i \in \{1,2,\ldots,n\}$$ (como se hace por ejemplo aquí). Entonces es convencional denotar vectores $\vec{v} \in T_p M$ en esta base como $\vec{v} = v^i \vec{e}_i$, donde podemos interpretar el índice elevado en $v^i$ como un signo de que el vector es contravariante, o que es un tensor $(1,0)$ que asigna al vector de base tangente $\vec{e}_i$ un valor $\in \mathbb{R}$.

Ahora, si $M$ es un espacio vectorial $V$, podemos identificar los vectores tangentes $\vec{v} \in T_p V$ en cualquier punto $p \in V$ con vectores de $V$ mismo. Mi pregunta principal es si hay alguna justificación, o algo profundo que se pueda entender, del hecho de que cuando realizamos esta identificación, los índices de alguna manera no estén donde deberían estar. Si tomamos la base de coordenadas local $x^i$ de antes como una base global en $V$, entonces parece que: $$\vec{v} = v^i \vec{e}_i \in T_p V \quad \text{se puede identificar con} \quad \vec{v}' = v^i x^i \in V \quad\text{(o debería ser }v_i x^i \in V\text?).$$ Dado que la posición del índice es significativa al aplicar tensores a estas cantidades, quiero asegurarme de no pasar por alto esto simplemente como un artefacto de la notación. Específicamente, la posición del índice en el vector base del espacio tangente $\vec{e}_i$ parece chocar con el componente de la base del espacio vectorial correspondiente $x^i$ cuando identificamos uno con el otro.

¿Es la respuesta simplemente separar siempre claramente entre los elementos de $T_pV$ y $V$ en sí, incluso si hay una biyección entre ellos?

Contexto: Tomé una introducción matemática a los manifold y estoy tratando de reconciliar los conceptos y la notación utilizados en la (especial) relatividad, donde usualmente se elimina la distinción entre $M$ y sus espacios tangentes, con las nociones de la teoría de manifold.

Answer 1

Si $\{\xi_1, \dots, \xi_n\} \subset V$ es una base para un espacio vectorial $V$, entonces da lugar a una base dual $\{x^1, \dots x^n\}$ para el espacio dual. Es decir, $x^i:V \to \Bbb{R}$ son funciones lineales, lo que significa que cada $x^i$ es un elemento de $V^*$, NO de $V$. Así que, dado cualquier vector $\vec{v} \in V$, siempre podemos escribirlo como una combinación lineal de $\{\xi_1, \dots, \xi_n\}$ como $$\begin{align} \vec{v} &= \sum_{i=1}^n v^i \xi_i \end{align}$$ y desenredando la definición de la base dual, puedes comprobar por ti mismo que $v^i = x^i(v)$, es decir, la evaluación de $x^i:V \to \Bbb{R}$ en el vector $\vec{v} \in V$. Por lo tanto, usando la convención de suma, $$\begin{align} \vec{v} = v^i \xi_i = x^i(v)\cdot \xi_i \in V \end{align}$$ Probablemente te estás confundiendo por tu propia terminología; por ejemplo, en la primera línea escribes la declaración engañosa:

... se puede construir una base para cada espacio tangente $T_pM$ a partir de una base de coordenadas local $\{x^i\}\subset \Bbb{R}^n$ como...

No es cierto que $x^i \in \Bbb{R}^n$, por lo que definitivamente no es cierto que $\{x^i\}$ forme una "base de coordenadas local". Lo que es, es un sistema de coordenadas/localización de coordenadas. Cuando hablamos intuitivamente de coordenadas, pensamos que cada punto tiene asociado a él un cierto conjunto de números; por lo tanto, si traducimos esto directamente en un lenguaje más formal, lo que significa es $n$-funciones $x^i: M \to \Bbb{R}$.

---

Observa que es perfectamente válido identificar $T_pV$ con $V$, porque obtienes esta isomorfismo simplemente a partir de los datos existentes de la estructura suave (es decir, si $(M=V, \mathcal{A})$ es tu variedad suave y $\mathcal{A}$ es el atlas suave maximal que contiene la carta de identidad $(V,\text{id}_V)$, entonces esto induce automáticamente un isomorfismo de cada espacio tangente con el espacio vectorial subyacente).

Sin embargo, lo que no está bien es invocar arbitrariamente isomorfismos de $V$ con $V^*$ sin ninguna estructura adicional (como un producto pseudo-interno). Además, en algunos casos, por ejemplo si tienes una base $\{\xi_1, \dots, \xi_n\}$ de $V$ y la base dual $\{x^1, \dots, x^n\}$ de $V^*$, entonces sí, puedes obtener un isomorfismo $V \to V^*$. Pero, solo porque puedes hacerlo, no significa que debas (yo, por ejemplo, nunca me gusta mezclar mi espacio vectorial con su dual, ya que es muy fácil confundirse rápidamente sobre lo que realmente está sucediendo).