Deje $f$ ser toda una función que toma cada valor de no más de tres veces. ¿Qué puede ser?

Question

Deje $f$ ser toda una función que toma cada valor de no más de tres veces. ¿Qué puede ser?

Considere la posibilidad de la singularidad en el infinito. Si es extraíble, a continuación, $f$ es constante. Si es un polo, a continuación, $f$ es un polinomio, y es claro que el grado de $f$ es menor o igual a tres. Supongamos $f$ tiene una singularidad esencial en el infinito. El Gran teorema de Picard, dice que toma todos los valores excepto, posiblemente, uno de ( $\omega$ ) en un barrio de $\infty$. Deje $w\neq \omega$ y tome algún valor $z_1$ donde $f(z_1)=w$. A continuación, hay un barrio de infinity, que no incluye a $z_1$, y por lo que debe existir otro punto de $z_2$ donde$|z_2|>|z_1|$$f(z_2)=2$. Por inducción debe existir una secuencia $z_n$ de puntos distintos con estrictamente creciente de los módulos donde $f(z_n)=w$, para todos los $w\neq \omega$.

Edit: supongo que debería aclarar por qué el grado de $f$ debe ser en la mayoría de los tres. Este debe seguir a partir de la densidad de la separables polinomios...supongamos $f(z)$ es un polinomio de grado mayor que tres. Si $f(z)$ es separable, entonces $f$ toma el valor cero en $>3$ puntos distintos. Si $f$ no es separable, entonces quiero decir que hay una constante $b$ tal que $f+b$ es separable, y, a continuación, $f$ toma el valor de $-b$ $>3$ puntos distintos. Pero que debo hacer este riguroso...después de todo, separables de polígonos puede ser denso, pero, ¿cómo sabemos que un conjunto inseparable de polinomios no es paralelo a el subespacio generado por la constante de polinomios (por lo $f+b$ es inseparable de todas las $b\in \mathbb{C}$)? Algún consejo para esto?

Answer 1

Primero, ¿quiere decir que no debe existir otro punto de $z_2$ ... de tal manera que $f(z_2)$ = w? Usted dijo que 2.

A mí me parece que la prueba es correcta; sin embargo creo que se podría escribir más claramente:

Usted dijo que si la singularidad es un polo de f es un polinomio de grado 3. Puede usted explicar por qué no podía ser un polinomio como p(z) = $(x-1)^3(x-2)? Es 1 cuenta como 3 valores diferentes? Podría hacer referencia a un teorema?

Se tomó una w para $z_1$; me habría resultado más fácil de seguir si usted podría dijo más claramente por qué w no puede ser omitido más cerca de barrio de $\infty$. (Sé que gran Picard no dicen eso, pero tengo problemas para visualizar los barrios de $\infty$ -- tal vez los demás ¿demasiado?)

Obviamente, si usted puede encontrar una secuencia de más de 3 tal que $f(z_n)$ = w tiene una contradicción; de modo que f no tiene una singularidad esencial en a $\infty$. En ese punto es de ayuda si usted indique específicamente que usted tiene una contradicción y lo que es; así como las que se indica que f debe ser como qué? ¿Te refieres a un 3er grado del polinomio? Cualquier edad 3er grado del polinomio? O como yo le pregunté anteriormente, podría ser un polinomio de grado superior?