Calculando la derivada por definición vs no por definición

Question

No estoy del todo seguro de cuándo necesito calcular una derivada usando la definición y cuándo puedo hacerlo normalmente.
Los siguientes dos ejemplos me confundieron:

$$g(x) = \begin{cases} x^2\cdot \sin(\frac {1}{x}) & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}$$

$$f(x) = \begin{cases} e^{\frac {-1}{x}} & x > 0 \\ -x^2 & x\leq 0 \end{cases}$$

Entiendo que puedo diferenciar normalmente para cualquier $x$ que no sea 0 (en ambos ejemplos).
Estoy confundido porque vi un ejemplo con $f(x)$ en el que calcularon $f'(x)$ diferenciando:

$$f'(x) = \begin{cases} \frac {1}{x^2}\cdot e^{\frac {-1}{x}} & x > 0 \\ -2x & x\leq0 \end{cases}$$

y luego calcularon $f'(0)$ no utilizando la definición, sino $\lim_{x\to0^-} f'(x)$ $\lim_{x\to0^+} f'(x)$

Para $g(x)$, sé que $g'(0)$ existe (usando la definición) pero

$$g'(x) = \begin{cases} 2x\cdot \sin(\frac {1}{x})-\cos(\frac {1}{x}) & x \ne 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}$$

y no puedes calcular $\lim_{x\to0^-} g'(x)$ o $\lim_{x\to0^+} g'(x)$ ya que $\lim_{x\to0^{+/-}} 2x\cdot \sin(\frac {1}{x})-\cos(\frac {1}{x})$ no existe.

Entonces, ¿cuál es la diferencia entre estos dos? ¿Cuándo puedo simplemente diferenciar normalmente como en el primer ejemplo ($f(x)$) y cuándo debo usar la definición como en el segundo ejemplo ($g(x)$)?

Apreciaría la ayuda.

Edición: Cuando me refiero a la definición, me estoy refiriendo a lo siguiente:

$\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Answer 1

Dada una función $f(x)$ y un punto $x_0$, es posible obtener $f'(x_0)$ diferenciando normalmente solo si $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f'(x)$ existe. Sin embargo, este no es el caso para la función $g(x)$ que diste.

A medida que $x \rightarrow 0$, $-\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ oscila y, de hecho, en cualquier vecindad pequeña de $0$, existen puntos $y$ y $z$ tales que $-\cos\left(\frac{1}{y}\right) = -1$ y $-\cos\left(\frac{1}{z}\right) = 1$. Por lo tanto, el límite cuando $x \rightarrow 0$ de esta parte de la función $g'(x)$ obtenida por diferenciación normal no existe, por lo que el límite de toda la función no existe, y por lo tanto no se puede usar como la derivada en ese punto. Sin embargo, utilizando la definición de límite de la derivada, es posible encontrar que $\frac{dg}{dx}(0) = 0$.

Answer 2

Ninguno de ellos está haciendo referencia a la definición de derivadas (al menos, no a la normal que creo que estás pensando, el límite del cociente de diferencias).

En ambos casos, estás calculando la derivada "normalmente" (por lo que creo que quieres decir a través de una fórmula preaprendida) para averiguar cuál es la derivada de la función en partes de la recta real.

Los límites que aparecen en lo que escribiste están comprobando si esta derivada combinada es continua cerca de cero. Verás, en principio las dos derivadas que obtienes en cada lado podrían no coincidir en $0$, tal vez una alcance el eje $y$ más bajo que la otra alcanza el eje $y$. En ese caso, la derivada tendría una discontinuidad de salto en $0$, y no sería continua.

De hecho, el ejemplo de $g$ que tienes aquí es aún más salvaje que eso: oscila salvajemente en cada lado de $0`, lo que hace que no tenga un límite definido a medida que se acerca a cero. Por lo tanto, cualquier cálculo del límite desde cualquiera de los lados resulta en "indefinido", y la derivada no es continua.

Answer 3

En lo que citaste, la afirmación $f'(x)=-2x$ es válida solo en $x<0$. La existencia de $f'(0)$ debe determinarse a partir de la definición. Pero sigue leyendo.

Tal vez el siguiente ejercicio te ayude. Supongamos que $f$ es continua en $(-a,a)$ y diferenciable excepto quizás en $0$. Supongamos $$\lim_{x\to 0} f'(x)=L\,.$$ Entonces $f$ es diferenciable en 0 y $f'(0)=L$. (Pista: Utiliza el Teorema del Valor Medio.)

Permíteme agregar el comentario de que la discusión en los comentarios anteriores plantea la pregunta: ¡No podemos decir que $f'$ es continuo en 0 a menos que primero sepamos que está definido allí!

Answer 4

La definición de derivada es $\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ si el límite existe.

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Supongamos que $f(x)$ está definida como

$$f(x) = \begin{cases} g(x) & x \ne 0 \\ c & x=0 \end{cases}$$

Si $\displaystyle \lim_{x \to 0}g'(x) = 0$, entonces $\displaystyle \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ existe y es igual a $0$. Así que podemos decir

$$f'(x) = \begin{cases} g'(x) & x \ne 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}$$

De lo contrario, $f'(0)$ no existe.

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Supongamos que $f(x)$ está definida como

$$f(x) = \begin{cases} g(x) & x \le 0 \\ h(x) & x>0 \end{cases}$$

Si $\displaystyle \lim_{x \to 0^-}g'(x) = \lim_{x \to 0^+}h'(x) = m$, entonces $\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ existe y es igual a $m$. Si este es el caso, entonces

$$f'(x) = \begin{cases} g'(x) & x \le 0 \\ h'(x) & x>0 \end{cases}$$

De lo contrario, $f'(0)$ no existe.

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En tu ejemplo,

$$f'(x) = \begin{cases} \frac {1}{x^2} \cdot e^{-\frac 1x} & x > 0 \\ -2x & x \leq 0 \end{cases}$$

Sabes que la derivada está bien definida en todas partes excepto en $x=0$.

Allí, necesitas verificar que

$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac {1}{x^2} \cdot e^{-\frac 1x} = \lim_{x \to 0^+} -2x = 0$.