Usando un método de series de potencias para la demostración de la solución de un ODE de matriz de primer orden

Question

$$y' = A y$$

mostrar que la solución dada a la EDO es de la forma:

$$ e^{Ax}C=y(x)$$

Sé cómo usar esta ecuación y la he utilizado muchas veces aplicando la definición de una exponencial de matriz así como formas normales de Jordan para tener una solución explícita. Sin embargo, la derivación usando soluciones en series de potencias no tengo ni idea de por dónde empezar.

$\mathtt{Ideas:}$

$$ \mathtt{ansatz:} \sum_0^{\infty} (A_n x)^n = y(x)$$ donde cada término $A_n$ es una matriz??

Answer 1

Condición inicial: $y(0)=y_0$. Utilizaré $t$ en lugar de $x$ como la variable independiente. Podemos suponer primero que existe una solución $y$ que es infinitamente diferenciable.

Entonces, $$ y'(0)=Ay_0,y''(0)=A^2 y_0,\ldots, y^{(n)}(0)=A^n y_0, $$ al diferenciar repetidamente con respecto a $t$. (Parece que quieres decir que $A$ es constante).

La expansión en serie de Taylor de $y(t)$ en $t=0$ es, por lo tanto, $$ y=\sum_{n=0}^\infty \frac{(A^n y_0) t^n}{n!}=\exp(tA) y_0. $$ He ignorado el problema de la convergencia aquí, pero es muy fácil ver por qué converge, y una vez que sabemos que converge, es un cálculo directo que $y$ cumple con la ecuación diferencial. La solución es, de hecho, única según un teorema de EDO (ver Teorema de existencia y unicidad). Por lo tanto, todas las soluciones a esta EDO son infinitamente diferenciables.