Generalización de los subespacios propios a haces vectoriales

Question

Supongamos que tenemos un haz vectorial $E$ sobre una variedad suave $M$, y dejemos que $F$ sea un endomorfismo de haz vectorial $E$.

¿Hay alguna manera de generalizar ahora la teoría de espacios propios en álgebra lineal a los haces vectoriales? En particular, me pregunto cuándo es posible construir subhaces que correspondan a alguna familia de "autovalores" de $F$, y cuya suma de Whitney sea isomorfa a $E$.

En el caso en el que $F$ se restrinja a un isomorfismo lineal, el cual en cada fibra tiene autovalores $\pm 1$, no es muy difícil construir un isomorfismo:

$E\leftrightarrow E^+\oplus E^-$

Pero tratar de generalizar esto a múltiples autovalores constantes parece difícil, y generalizar esto aún más a autovalores no constantes parece muy difícil.

Para tener contexto, estoy tratando de demostrar que toda variedad que admita una métrica pseudo-riemanniana de firma $(t,s)$ se descompone como una suma de Whitney de un subhaz definido positivo y un subhaz definido negativo, y tengo una idea que depende de esta generalización. Lamentablemente no he encontrado ninguna fuente que $a)$ pruebe esta afirmación (aunque sospecho que sea cierta), o $b)$ se adentre en tal generalización.

Si alguien tiene sugerencias de referencias, o puede proporcionar algo de ayuda en el camino hacia esta generalización, sería de mucha ayuda.

Answer 1

El problema con el argumento que estás intentando hacer es que, sin restricciones adicionales, los eigespacios de un endomorfismo de un haz vectorial pueden fusionarse, dividirse y cambiar de dimensión de maneras complicadas que no son fácilmente descritas usando el lenguaje de los haces vectoriales. Afortunadamente, existen otras formas de lograr la descomposición que describes. Solo abordaré el caso definido positivo; el argumento definido negativo es esencialmente idéntico.

Un poco de álgebra lineal:

Sea $\mathbb{R}^{p,q}$ $\mathbb{R}^{p+q}$ equipado con el producto pseudo-interno estándar de firma $(p,q)$, y sea $N\subseteq\mathbb{R}^{p,q}$ el subespacio definido negativo generado por las últimas coordenadas $q$.

Sea $\operatorname{Gr}(p,\mathbb{R}^{p,q})$, denota el Grassmanniano de rango $p$ (es decir, el conjunto de subespacios de dimensión $p$ equipados con la estructura natural de variedad suave). El conjunto de subespacios definidos positivos es un subconjunto al que llamaré $\Delta\subseteq\operatorname{Gr}(p,\mathbb{R}^{p,q})$. Observa que cada elemento de $\Delta$ es complementario a $N$. Por lo tanto, cada elemento de $\Delta$ puede ser escrito como $\{(\vec{x},A\vec{x}):\vec{x}\in\mathbb{R}^p\}$ donde $A$ es una matriz de $q\times p$. Además, cada matriz de $q\times p$ $A$ corresponde a un subespacio único, que es un elemento de $\Delta$ si y solo si $\|A\|_{op}<1$. Esto nos da un difeomorfismo de $\Delta$ a $\{A\in\mathbb{R}^{q\times p}:\|A\|_{op}<1\}$, que es un subconjunto abierto suavemente contractible de $\mathbb{R}^{q\times p}$.

Haces vectoriales

Dado un haz vectorial suave de rango $p+q$ $\pi:E\to M$ con un pseudo-métrica de haz $g$ de firma $p,q$, hay un haz correspondiente $\pi_{\Delta}:E_\Delta\to M$ donde la fibra sobre $x\in M$ es el conjunto de subespacios definidos positivos de $\pi^{-1}(x)\subseteq E$. La fibra típica de $\pi_\Delta$ es, por supuesto, $\Delta$ de arriba. Dado que la fibra típica es contractible, $\pi_{\Delta}$ admite una sección global suave (ver esta publicación de mathoverflow para más discusión). Estas secciones son exactamente los subhaces que estás buscando.