Especificación de $\mathbb{C}[x,y]/(xy)$

Question

Encuentra conjuntos abiertos y puntos de $\mathrm{Spec}(\mathbb{C}[x,y]/(xy))$.

Sé que ideales primos en $\mathbb{C}[x,y]$ son $(0),(x-a,y-b),(f)$ donde $a,b \in \mathbb{C}$ y $f$ es irreducible. Los ideales primos en $\mathbb{C}[x,y]/(xy)$ son de la forma $\mathfrak{p}+(xy)$, donde $\mathfrak{p}$ es un ideal primo en $\mathbb{C}[x,y]$ tal que $(xy) \subset \mathfrak{p}$.

¿Por qué $(xy)$ no está contenido en $(x-a,y-b)$ para $a,b$ complejos arbitrarios, pero si $a=0$ o $b=0$? Tengo problemas para ver esto. ¿Cómo lucen los conjuntos abiertos? Conozco la definición de conjuntos abiertos en la topología de Zariski, pero no puedo verlo. Agradecería mucho pistas y ayuda.

Answer 1

Una de tus preguntas es:

¿Por qué $(xy)$ no está contenido en $(x-a, y-b)$ para $a$, $b$ complejos arbitrarios, pero sí para $a=0$ o $b=0$?

Me gustaría ofrecer una respuesta muy básica a esto. (Otras observaciones y respuestas han hablado sobre los conjuntos abiertos, no hablaré de eso aquí). Específicamente me gustaría responder a la siguiente pregunta:

¿Por qué es cierto que $(xy)$ está contenido en $(x-a, y-b)$ si y solo si $a=0$ o $b=0$ (o ambos)?

Primero que todo, diré algo muy básico, por si acaso tú o alguien más que lea esto, todavía está aprendiendo sobre ideales. Si $a=0$, entonces $(x-a, y-b) = (x, y-b)$. Esto contiene a $x$. Por lo tanto, contiene el múltiplo, $xy$. Específicamente, $xy = x(y) + (y-b)(0)$. De manera similar, si $b=0$ entonces $(x-a, y-b) = (x-a, y)$ contiene a $y, por lo que contiene el múltiplo $xy$.

Pero en realidad, el punto es probar la conversa: si $xy \in (x-a, y-b)$ entonces $a=0$ o $b=0$ (o ambos). Así que supongamos que $xy \in (x-a, y-b)$. Podemos escribir $xy = (x-a)f(x, y) + (y-b)g(x, y)$ para algunos polinomios $f, g$. Reemplacemos los valores $x=a$ y $y=b$ en esta ecuación. Obtenemos $$ ab = (a-a)f(a, b) + (b-b)g(a, b). $$ En el lado derecho tenemos $0+0$. Por lo tanto $ab=0$. Por lo tanto $a=0$ o $b=0$.

Answer 2

Los ideales primos de $\mathbb C[x,y]/(xy)$ están en biyección con los ideales primos de $\mathbb C[x,y]$ que contienen $(xy)$. Por lo tanto, si $xy\in \mathfrak p$ para algún primo $\mathfrak p\subset \mathbb C$, entonces o bien $x\in \mathfrak p$ o $y\in \mathfrak p$. Estos son exactamente los ideales primos (no maximales) $(x),(y)$ y los ideales maximales $(x,y-a),(y,x-b)$ para todo $a,b\in\mathbb C.

Para escribir todos los detalles cuidadosamente, es útil examinar de nuevo la afirmación "$xy\in \mathfrak p$ para algún primo $\mathfrak p\subset \mathbb C$, entonces o bien $x\in \mathfrak p$ o $y\in \mathfrak p$." Supongamos que se cumple lo primero, entonces considera el cociente por $x$ y ahora estás reducido a encontrar los ideales primos de $\mathbb C[y]$, que son solo $(0)$ y $(y-b)$ que en el anillo más grande son los ideales $(x)$ y $(x,y-b)$.

Los conjuntos abiertos de un esquema son simplemente los complementos de los conjuntos cerrados que, en una variedad afín $\mathrm{Spec}(R)$, son simplemente conjuntos de la forma $$V(I)=\{\mathfrak p\in \mathrm{Spec}(R)\mid\mathfrak p\supseteq I \}$$ para ideales $I$. ¿Puedes terminar ahora?