Demostrando que $g(x)=x(1-x)f(x)$ es uniformemente continua en $(0,1)$ si $f(x)$ es continua y acotada en $(0,1)$

Question

Supongamos que tenemos una función $f(x)$ que es continua y acotada en $(0,1)$. Luego definimos una función $g(x)=x(1-x)f(x)$. Demuestra que g(x) es continua. Lo resolví a través de la definición $\delta,\varepsilon$ de continuidad uniforme. Sin embargo, no necesité usar el hecho de que $f(x)$ era continua; básicamente insinué a través de mi prueba que para que $g(x)$ sea uniformemente continua, $f(x)$ solo necesitaba estar acotada. Lo cual creo que está mal. Aquí está lo que intenté $$\vert g(x)-g(x_0)\vert$$$$\Rightarrow\vert x(1-x)f(x)-x_0(1-x_0)f(x_0)\vert$$$$\Rightarrow\vert x(1-x)f(x)-x(1-x)f(x_0)+x(1-x)f(x_0)-x_0(1-x_0)f(x_0)\vert$$$$\leq\vert x(1-x)\vert\vert f(x)-f(x_0)\vert+\vert f(x_0)\vert\vert x(1-x)-x_0(1-x_0)\vert$$

Dado que $f(x)$ es acotada tenemos que $\vert f(x)\vert\leq M$ para todo x, siendo M un número. Entonces tenemos que $$\vert x(1-x)\vert\vert f(x)-f(x_0)\vert+\vert f(x_0)\vert\vert x(1-x)-x_0(1-x_0)\vert$$$$\leq2M\vert x(1-x)\vert+M\vert x(1-x)-x_0(1-x_0)\vert$$ Después, usé cálculo para encontrar el máximo de $x(1-x)$. Tomé la derivada y la igualé a 0. Esto me dio que el máximo de $x(1-x)$ está en $x=1/2$. Por lo tanto, $$2M\vert x(1-x)\vert+M\vert x(1-x)-x_0(1-x_0)\vert$$$$<2M\vert1/4\vert+M\vert1/4\vert=3M/4$$ Por lo tanto $\delta=4\varepsilon/3M$. Dado que $\delta$ no depende de $x_0$, $g(x)$ es uniformemente continua. ¿Qué hice mal? ¿Cuáles son otros métodos para probar esto?

Answer 1

Consejo: Sea dado $\varepsilon > 0$. Suponga que $|f(x)| \le M$. Dado que $f$ es uniformemente continua en $\left[\dfrac{\varepsilon}{4M}, 1-\dfrac{\varepsilon}{4M}\right]$, puede elegir $\tilde\delta$ tal que $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$ cuando $x,y \in \left[\dfrac{\varepsilon}{4M}, 1-\dfrac{\varepsilon}{4M}\right]$ y $|x-y| < \tilde\delta$. Ahora ponga $\delta := \min\left\{\tilde\delta, \dfrac{\varepsilon}{4M}\right\}$.

Answer 2

Consejo: Si $f(x)$ es continua en $(a,b)$ y existen $lim_{x\to a^+} f(x), lim_{x\to b^-} f(x)$, entonces $f(x)$ es uniformemente continua.

Dado que $x(1-x)$ y $f(x)$ son continuas en $(0,1)$, entonces $g(x)$ es continua en $(0,1)$. Además, dado que existen $lim_{x\to 0^+} g(x)$ y $lim_{x\to 1^-} g(x), g(x)$ es uniformemente continua.