Munkres dice en la pág. 346 que el conjunto de clases de homotopía de caminos no siempre forma un grupo bajo la operación $*$ porque el producto de dos clases de homotopía de caminos no siempre está definido.
¿Qué significa esto? ¿Significa que $[f]*[g]\neq [f*g]$? ¿O significa algo más? ¿Podría alguien por favor dar un ejemplo?
La relación de equivalencia de homotopía de caminos se aplica a cualquier par de caminos $f,g$ con los mismos punto de inicio y final, es decir, $f(0)=g(0)$ y $f(1)=g(1)$. Además, la función de concatenación de caminos $f*g$ (y el análogo de clase de equivalencia $[f]*[g]$) solo está definida cuando el inicio del segundo camino coincide con el final del primero, es decir, $f(1)=g(0)$. Así que si $\pi_{A,B}$ es el conjunto de caminos de $A$ a $B$ cociente con la relación de homotopía de caminos, entonces si $A\ne B$, $\pi_{A,B}$ no es un grupo bajo $*$ porque para cualquier $f\in\pi_{A,B}$, $f*f$ no está definido.
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