$A$ es una matriz de $n \times n$. ¿Probar $\bar{A}A$ es similar a $A\bar{A}$ (o refutar)? (Resuelto, es verdadero.)

Question

$A$ es una matriz compleja de $n \times n$. ¿Cómo se puede demostrar que $\bar{A}A$ es similar a $A\bar{A}$? Aquí asumo que $\bar{A}$ significa simplemente el conjugado complejo de $A$. No es la traspuesta conjugada ya que sé que en ese caso serían similares.

¿Alguna idea que pueda ayudar? ¡Gracias! Si alguien puede refutarlo, también es bueno.

Actualización Este problema ha sido resuelto. Ver los comentarios abajo. Una vez que se descubrió que $AB$ y $BA$ tienen el mismo bloque de Jordan no singular, la parte singular se pudo emparejar considerando que las soluciones de $(\bar{A}A)^kx=0$ y $(A\bar{A})^kx=0$ son conjugadas entre sí (por lo tanto, uno a uno).

Answer 1

Es cierto. Dos matrices cuadradas complejas $A$ y $B$ se dice que son consimilares si $A=\overline{S}BS^{-1}$ para alguna matriz compleja invertible $S$. Es fácil verificar que si $A$ y $B$ son consimilares, entonces $A\overline{A}$ y $B\overline{B}$ son similares. Ahora, toda matriz cuadrada compleja $A$ es consimilar a $\overline{A}$ (ver por ejemplo el corolario 4.11 de Hong and Horn, Una forma canónica para matrices bajo consimilaridad, LAA 102: 143-168 (1988)). Por lo tanto, $A\overline{A}$ es similar a $\overline{A}A$.