Derivada de la solución de una iteración de punto fijo

Question

Sea $\theta_s$ la solución a una ecuación de punto fijo $$\theta=f(\theta,\lambda)$$ Sea $d(\theta,\lambda)$ otra función de $\theta,\ \lambda$. Conozco $f$ pero no tengo una expresión explícita para la solución $\theta_s$. Ahora, si necesito evaluar $d'(\theta_s,\lambda_s)$ donde la diferenciación es con respecto a $\lambda$, ¿cómo debo proceder para hacerlo?

Answer 1

Utilice el Teorema de la Función Implícita. Su función $$\lambda\longmapsto\theta_s$$ se define implícitamente por $$\theta=f(\theta,\lambda).$$ Entonces, $$\theta'(\lambda)= {\partial f\over\partial\theta}\,\theta'(\lambda)+{\partial f\over\partial\lambda}.$$