Escribe la secuencia $\frac{1}{2012},\frac{2}{2012},...,\frac{2011}{2012}$ en el pizarrón. Para cada par arbitrario de números $x, y$ en esa secuencia, los cancelamos y los reemplazamos por $x+y-4xy$.
¿Cuál es el número después del paso 2010?
Siento que podríamos resolver este problema utilizando el principio de invarianza, pero aún no logro resolverlo. Por favor ayúdame.
Gracias.
El invariante que estás buscando es
$$P = \prod_{i=1}^n (1-4x_i)$$
si los números en la pizarra en un momento dado son $x_i, i=1,\ldots,n$.
Es un producto de factores que dependen solo de un $x_i$ cada uno, por lo que si reemplazas $x,y$ en la pizarra con $x+y-4xy$, reemplazas el producto original de 2 factores
$$(1-4x)(1-4y) = 1-4x-4y+16xy$$
por
$$(1-4(x+y-4xy)) = 1-4x-4y+16xy,$$
nada más cambia, por lo que todo el producto no cambia.
Como se mencionó en la respuesta de Misha Lavrov, dado que $\frac14=\frac{503}{2012}$ está inicialmente en la pizarra, tenemos $P=0$ y eso significa que el último elemento restante también será $\frac14$.
Para resolver un problema como este y encontrar el término invariante, es necesario mirar la "fórmula de reemplazo", en este caso $(x,y) \mapsto x+y-4xy$. Es conmutativa e implica el producto de $x$ e $y$ como el "término de mayor orden", por lo que es probable que el invariante sea un producto. Parece adecuado probar una transformación lineal para cada término, ya que $(a+bx)(a+by)=a^2+abx+aby +b^2xy$ conduce al tipo de fórmula que necesitamos.
Comencé con $(4x-1)(4y-1)$, pero eso llevó a un cambio en el signo al compararlo con $4(4x+4y-4xy)-1$, así que invertí el signo de cada factor y obtuve el resultado.
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