Aquí hay una construcción algo directa y a la fuerza. Por supuesto, debemos requerir que todos los $a_n$ sean diferentes. Sin pérdida de generalidad, también podemos asumir que $a_n\ne 0$ para $n>0.
Construiremos una secuencia de funciones enteras que tengan el valor correcto para subconjuntos crecientes de los $a_n$ y luego demostraremos que las funciones convergen a una función entera.
En el paso $0$, establecemos $f_0(z)=b_0$.
En el paso $n$ para $n>1$, construimos $f_n$ como $f_{n-1}+g_n$, donde $g_n$ es una función que es $0$ en $a_0,\ldots,a_{n-1}$ y tiene el valor correcto en $a_n$ para hacer $f_n(a_n)=b_n$. En particular, usamos $$ g_n(z)=cz^k\prod_{i=0}^{n-1}(z-a_n) $$ para una constante apropiada $c$ y un $k$ elegido lo suficientemente grande que $\lvert g(z)\rvert \le 2^{-n}$ siempre que $\lvert z\rvert \le \lvert a_n\rvert-1$.
Ahora, para cualquier $D>0$, eventualmente $\lvert a_n\rvert-1$ será mayor que $D$, y por lo tanto $ \lim_n f_n = \sum_{n=0}^\infty g_n $ convergerá uniformemente para $\lvert z\rvert < D$. Pero todos los $f_n$ son enteros (de hecho, polinomios) y la convergencia uniforme en un subconjunto abierto de $\mathbb C$ preserva la analiticidad, por lo que el límite es analítico en $\lvert z\rvert < D$. Pero $D$ era arbitrario, por lo que $\lim_n f_n$ es analítico en todas partes.
