¿Es la proyección sobre el círculo unitario Sobolev?

Question

Sea $f(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$. ¿Está $f \in W^{1,p}(B)$ para algún $p \ge 1$, donde $B$ es el disco unitario abierto en $\mathbb{R}^2$?

(Supongo que podemos reemplazar $B$ con un disco con radio arbitrariamente pequeño; la singularidad está centrada en el origen).

Esto es lo que sé:

$f \le 1$ está acotada, por lo que está en $L^p(B)$ para cualquier $p \ge 1$. Consideremos sus derivadas:

$f_x=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(\frac{y^2}{x^2+y^2})\le \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$, así que seguro $f_x \in L^p(B)$ para $p<2$.

(De hecho, $f_x \in L^p(B) \iff p<2$).

$f_y=-\frac{yx}{x^2+y^2}(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}})$, así que $|f_y|\le \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$, por lo tanto $f_y \in L^p(B)$ para $p<2$.

Entonces, ¿es cierto que $f \in W^{1,p}(B)$ para algún $ 1 \le p <2$?

Answer 1

Como se muestra en la respuesta a esta pregunta mía, dado que $f$ es singular en un punto, solo sus derivadas clásicas coinciden con las distribucionales. Por lo tanto, por definición, $f\in W^{1,p}(B)$ si y solo si $f$ y $\nabla f$ pertenecen a $L^p(B)$. Los cálculos en la pregunta muestran que esto se cumple para todos los $p\in[1, 2)$.