Propiedades de \( S_n = 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} \)

Question

Sea $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. ¿Son las siguientes afirmaciones correctas?

1. $S_{2^n}\geq \frac{n}{2}$

2. $\frac{S_n}{n}\to 1$ a medida que $n\to \infty$.

$S_{2^n}=\sum_{k=1}^{2^n} \dfrac{1}{k}$.

Procediendo por inducción tenemos $S_2=1+\dfrac{1}{2}\geq \dfrac{1}{2}$. Supongamos que $S_{2^n}\geq \frac{n}{2}$; entonces $S_{2^{n+1}}=(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^n})+(\frac{1}{2^n+1}+....+\frac{1}{2^{n+1}})\geq \frac{n}{2}+(\frac{1}{2^n+1}+....+\frac{1}{2^{n+1}})$.

¿Cómo se puede mostrar que $(\frac{1}{2^n+1}+....+\frac{1}{2^{n+1}})\geq \frac{1}{2}$? Por favor, ayuda aquí.

¿Cómo puedo verificar 2? $\dfrac{S_n}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}}{n}=??$

Answer 1

A) Este es el test de condensación de Cauchy. Tenga en cuenta que hay $2^n$ términos de $2^n+1$ a $2^{n+1}$.

b) podría intentarse utilizando el teorema de Stolz-Cesaro. Sin embargo, el límite sería $0.

¿Podría ser que se deba considerar $S_{2^n}/n? Lo que llevaría a considerar el límite $$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac1k=\lim_{n\to\infty}\frac1{2^n}\sum_{k=1}^{2^n}\frac1{1+2^{-n}k}=\int_0^1\frac1{1+x}dx=\ln2 $$

¿O es el límite el de $S_n/\ln(n)?$ Entonces Cesaro-Stolz establece que es igual a $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac1n}{\ln(n)-\ln(n-1)} =-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\ln(1-\frac1n)}=1 $$