Escogiendo la condición inicial para la ecuación de Hamilton-Jacobi a partir de $x$ y $p$ iniciales

Question

Para soluciones separables a ecuaciones diferenciales parciales de Hamilton-Jacobi (por ejemplo, en 2D), tratamos la función principal de Hamilton $S$ como

$$S= W(x) + W(y) - E*t$$ y tratamos las partes separadas como constantes y encontramos $W(x)$, $W(y)$, y finalmente encontramos $S$, luego encontramos las posiciones o lo que sea necesario diferenciando $W$ con respecto a la constante.

Pero, cuando la ecuación no es separable, necesitamos resolverla numéricamente y para eso se necesitarán condiciones iniciales. ¿Cuáles son las condiciones iniciales para la ecuación de Hamilton-Jacobi, por ejemplo, para un hamiltoniano tipo energía cinética más energía potencial, y cómo encontrarlas?

Y a partir de la condición de frontera, después de encontrar $S$, ¿cómo podemos encontrar las características del movimiento, como la posición en función del tiempo?

Por ejemplo, quiero resolver la ecuación HJ en un oscilador armónico numéricamente para obtener la posición y el momento como funciones del tiempo bajo la condición inicial:

En $$t=0,$$ $$x=1$$ $$p=0$$

Ahora, ¿cómo debo proceder numéricamente, sin preguntar por el método numérico para resolver la ecuación en derivadas parciales, sino cómo imponer las condiciones iniciales en la acción, y después de obtener la acción como función de la posición y el momento, cómo obtener $$x$$ y $$p$$ como funciones del tiempo.

Answer 1

Del libro de Goldstein:

La técnica consiste en buscar una transformación canónica de las coordenadas e momentos en el tiempo $t$ a un nuevo conjunto de cantidades constantes, que pueden ser los $2n$ valores iniciales $(q_0,p_0)$ en $t=0$. Con tal transformación, las ecuaciones que relacionan las variables antiguas y nuevas son la solución deseada del problema mecánico: $$q = q(q_0,p_0,t)$$ $$p = p(q_0,p_0,t)$$

Goldstein lo explica muy bien. Seguiré su proceso paso a paso para el oscilador armónico. Comenzamos con la ecuación de Hamilton-Jacobi

$$\frac{1}{2} S^{(1,0)}(x,t)^2+S^{(0,1)}(x,t)+\frac{x(t)^2}{2}=0$$ Esto tiene la solución (usé Mathematica) $$S = \frac{1}{2} \left(x \left(-\sqrt{-x^2+c_1}\right)-c_1 \tan ^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{-x^2+c_1}}\right)\right)-\frac{c_1 t}{2}$$ donde he tomado la segunda constante aditiva de integración como 0 sin pérdida ya que solo aparecen derivadas de $S$ en la ecuación de Hamilton-Jacobi.

La primera ecuación de transformación es $$p = \frac{\partial S}{\partial x}$$ entonces $$p = -\sqrt{-x^2+c_1}$$ la segunda ecuación de transformación es (uso $\beta$ para enfatizar que es una constante, que es todo el punto de este procedimiento) $$X = \beta = \frac{\partial S}{\partial c_1}$$ $$\beta = \frac{1}{2} \left(-t-\tan ^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{-x^2+c_1}}\right)\right).$$ Resolviendo para $x$, obtenemos (realmente hubo dos ramas en este cálculo pero fui perezoso y solo tomé una, así que si estás siguiendo muy de cerca, así es como se resolvería la ambigüedad de signo): $$x = -\sqrt{c_1} \sin (t+2\beta)$$ sustituye esto en la ecuación para $p$ y encuentra que $$p = -\sqrt{c_1}\cos{(t+2\beta)}$$ para corregir las constantes simplemente sustituye $t = 0$ así como tus condiciones iniciales. El resultado es $$c_1\to 1, \qquad \beta \to \frac{1}{2} \left(\frac{\pi }{2}+2 \pi n\right)$$

Answer 2

La ecuación de Hamilton–Jacobi (HJ) es una EDP de primer orden no lineal. El flujo típicamente se encuentra utilizando el método de las características partiendo de algunas condiciones iniciales en una hipersuperficie Cauchy adecuada (codimensión-1). Ten en cuenta que el parámetro de flujo puede que no sea el tiempo físico, y por lo tanto la palabra "inicial" debe interpretarse en consecuencia.