Convergencia de series

Question

Quiero demostrar que la serie $\sum_{n=1}^{\infty} x^n(1-x^n)$ converge para $x \in (-1,1]$. Evidentemente, la serie converge trivialmente para $x=0$. La serie también converge para $x \in (0,1]$, porque en ese caso, $\sum x^n(1-x^n) \le \sum x^n$, y $\sum x^n$ converge. ¿Cómo demostrar la convergencia para $x \in (-1,0)$?

Answer 1

La serie también converge trivialmente para $x=1$, siendo el segundo término del producto igual a cero.

De lo contrario

$$|x^n(1-x^n)| \leq |x|^n + |x|^{2n} \leq 2|x|^n$$

y así para $x \in (-1,1)$ la serie converge, ya que $\sum |x|^n$ converge.