Encuentra el centralizador de $(123)$ en $S_6$.

Question

Encuentra el centralizador de $(123)$ en $S_6$.

¿Existe algún software para calcular $C_{(123)}$ donde $C_{(123)}$ denota el centralizador de $(123)$ en $S_6$.

¿Alguien puede decir cómo escribir el código para encontrar el centralizador de $(123)$ en $S_6$?

¿Se puede hacer utilizando SageMath?

Comprobé que se puede hacer con SageMath pero solo lista los generadores del centralizador de $(123)$ en $S_6$.

¿Existe algún código para listar todos los elementos del centralizador de $(123)$ en $S_6$?

Answer 1

La centralizadora de $a = (1,2,3)$ es bastante simple de describir. Primero ensambla las permutaciones de $\{4,5,6\}$. Hay $6$ de ellas. Luego precede a cada una de estas con las permutaciones $a^0,a,a^3$ lo cual te da los $18$ elementos de la centralizadora. Aquí está el código en GAP:

gap> c1 := SymmetricGroup([4..6]);
Sym( [ 4 .. 6 ] )
gap> c2 := Group((1,2,3));
Group([ (1,2,3) ])
gap> c := Group(Union(c1,c2));
Group([ (), (5,6), (4,5), (4,5,6), (4,6,5), (4,6), (1,2,3), (1,3,2) ])

Pero Gap tiene el comando directo 'Centralizer':

gap> S6 := SymmetricGroup(6);
Sym( [ 1 .. 6 ] )
gap> Centralizer(S6,(1,2,3)) = c;
true

La etiqueta GAP falló al añadirse (más de 5 etiquetas)