Esto no funciona si los $U_\lambda$ no están conectados, por ejemplo podemos tomar $U_1=(-\infty,0)\cup(1,\infty)$, $U_2=(-1,1)$ y $U_3=(0,2)$ y las funciones $f_1$ definidas por $f_1(x)=x$ si $x<0$ y $x+1$ si $x>0$, y $f_2(x)=f_3(x)=x$.
Pero si los $U_\lambda$ están conectados, es cierto. La relación de esto con la homología se puede ver usando la homología de pequeños símplices (proposición 2.21 de Hatcher).
Como en el libro de Hatcher, sea $C_n(\mathbb{R}^n)$ el grupo de $n$-cadenas en $\mathbb{R}^n$ generado por los $n$-símplices singulares. Ahora podemos tomar la cubierta $\mathcal{U}=\{U_\lambda\}_\lambda$ y sea $C_n^\mathcal{U}(\mathbb{R}^n)$ el subgrupo de $C_n(\mathbb{R}^n)$ generado por símplices que están contenidos en algún elemento de $\mathcal{U}$.
Podemos definir un homomorfismo $\alpha:C_1^\mathcal{U}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R}$ que asigna a cada $1$-símplice $\gamma:[0,1]\to\mathbb{R}^n$ el valor $f_\lambda(\gamma(1))-f_\lambda(\gamma(0))$, para algún $\lambda$ tal que $\gamma([0,1])\subseteq U_\lambda$.
Esto está bien definido y es $0$ en los bordes (ya que los $2$-símplices también están contenidos en algún $U_\lambda$), así que te da un homomorfismo $\overline{\alpha}:H_1^\mathcal{U}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R}$. Pero por la proposición 2.21 de Hatcher, $H_1^\mathcal{U}(\mathbb{R}^n)\cong H_1(\mathbb{R}^n)=0$, así que $\alpha$ es $0$ en ciclos.
Entonces puedes definir tu función $f$ como $f(0)=0$, y para cualquier otro $x\in\mathbb{R}^n$, $f(x)=\alpha(\gamma)$, donde $\gamma$ es un camino (suma de pequeños segmentos) desde $0$ hasta $x$. Según el párrafo anterior, $f$ está bien definido, y $f-f_\lambda$ es constante porque para $x,y\in U_\lambda$, podemos tomar una secuencia de segmentos $[x_0,x_1],[x_1,x_2],\dots,[x_{n-1},x_n]$ contenidos en $U_\lambda$ que van desde $x=x_0$ hasta $y=x_n$, de manera que $f_\lambda(y)-f_\lambda(x)=\sum_{i=1}^n(f_\lambda(x_i)-f_\lambda(x_{i-1}))$, que también coincide con $f(y)-f(x)$.
