Probabilidad y estadística (probabilidad condicional)

Question

Considera una urna que inicialmente contiene $3$ bolas rojas y $5$ bolas azules. Quitas una bola de la urna, y luego (independientemente del color de la bola que quitaste) agregas dos bolas rojas a la urna. Luego quitas otra bola de la urna. (a) ¿Cuál es la probabilidad condicional de que la segunda bola que quitas sea roja dado que la primera bola que quitas es roja? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas que quitas sean rojas? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola que quitas sea roja?

Para la parte a, creo que necesitamos utilizar la fórmula de probabilidad condicional que es $P(b|a)=P(b\cup a)/P(a)$. Si asumimos que a es la probabilidad de que la primera bola que quité sea roja, entonces $P(a)=3/8$. Sin embargo, tengo problemas para encontrar el valor de $P(b\cup a)$. Además, ¿pueden darme algunos consejos para las partes b y c?

Answer 1

No necesitamos encontrar $P(b\cup a)$ para encontrar $P(b|a)$. Suponiendo que se ha sacado una bola roja, entonces quedan 2 bolas rojas y 5 bolas azules en la urna. Ya que se agregan 2 bolas rojas más, ahora hay 4 bolas rojas, 5 bolas azules y 4+5=9 bolas en la urna. Dividimos para obtener la respuesta $P(b|a)=\frac49$ para la pregunta a. Ahora hacemos la pregunta b, que consiste en encontrar $P(b\cup a)$. Usando la Regla de la Multiplicación $P(b\cup a)=P(b|a)P(a)$, obtenemos $P(b\cup a)=\frac49\cdot\frac38=\frac{12}{72}=\frac16$. Finalmente, encontramos la pregunta C, o $P(b)$. Es $P(b\cup a)+P(b\cup a').$ $P(b\cup a)=\frac16$, y $P(b\cup a')=P(a')P(b|a')=\frac59\cdot\left(1-P(a)\right)=\frac59\cdot\left(1-\frac38\right)=\frac59\cdot\frac58=\frac{25}{72}$. Dado eso, $P(b)=\frac16+\frac{25}{72}=\frac{12}{72}+\frac{25}{72}=\frac{12+25}{72}=\frac{37}{72}$.

Answer 2

Permita que el evento de que la primera bola sea roja sea A. Permita que el evento de que la segunda bola sea roja sea B

Parte a) $$P(B/A) = \frac{P(B\cap A)}{P(A)} = \dfrac{\frac{3}{8}\frac{4}{9}}{\frac{3}{8}} = \frac{4}{9}$$

Parte b) $$P(B\cap A) = \frac{3}{8}.\frac{4}{9}= \frac{12}{72}$$

Parte c) $$P(B) = P(B/ A).P(A) + P(B/ A')P(A') = \frac{3}{8}\frac{4}{9}+\frac{5}{8}\frac{5}{9} = \frac{37}{72}$$