Hay más de una ocurrencia de una potencia de dos entre los dos números primos?

Question

$2^2$ es entre el doble de los números primos $3$$5$. Existen otras instancias de poder de los dos entre los dos números primos? Si es así, ¿cuántos?

Que hay de los números primos de Mersenne (los números primos de la forma$2^n-1$), hace de este un poco más tentadora, pero de una breve búsqueda no escupir los resultados de inmediato.

Answer 1

No: si $n$ es impar, $3\mid 2^n+1$, y si $n$ es incluso, $3\mid 2^n-1$.

Para ver esto, observe que $2^n+1=2^n+1^n$, el cual es divisible por $2+1$ si $n$ es impar, mientras que $2^{2k}-1=4^k-1^k$ es divisible por $4-1$.

Answer 2

Más complicado:

• Si $2^n-1$ es un (Mersenne) prime, a continuación, $n$ debe ser un primo: si $p|n$,$2^p-1|2^n-1$.
• Si $2^n+1$ es un (Fermat) prime, a continuación, $n$ debe ser una potencia de $2$: si $n=pk$ $p$ impar, entonces $2^k+1|2^n+1$.

La única $n$ que es el primer y una potencia de $2$ $2$ sí. Tan sólo el doble de los números primos que rodea a un poder de $2$ le rodean $2^2=4$.

Answer 3

Sólo algunos conceptos básicos. Doble de los números primos uso de los últimos dígitos de 1 & 3, 7 y 9, y 9 y 1 5 es y la excepción a la regla general. Las potencias de 2 utilice los últimos dígitos de 2, 4, 6, y 8. Sólo serán válidas las potencias de 2 se tienen los últimos dígitos de 2 y 8. 2^2 = 4 y 2^3 = 8. Mucha suerte tratando de encontrar más de ellos.