Condicionando un SDE en el evento de que el ruido de conducción sea pequeño

Question

Sea $X$ la solución a la EDP unidimensional

$dX_t = \mu(t, X_t)dt + \sigma(t, X_t) dW_t$, para $t \in [0, T]$.

con $X_0= x_0$ casi seguramente para algún $x_0 \in \mathbb R$.

Aquí $W_t$ denota un movimiento Browniano estándar, y asumimos que $\mu$ y $\sigma$ son continuas de Lipschitz y uniformemente acotadas.

Para todo $\varepsilon > 0$, denotamos por $\mathcal S_{\varepsilon}$ el evento $\sup_{t \in [0, T]} |W_t| \leq \varepsilon$.

Pregunta: Considerando $X$ como una variable aleatoria valuado en $C[0, T]$, ¿es cierto que las variables aleatorias condicionadas $X| \mathcal S_\varepsilon$ convergen en ley a la solución determinista $Y_t$ de

$dY_t = \mu(t, Y_t) dt$, con $Y_0 = x_0$ casi seguramente?

Answer 1

La respuesta es sí, siempre y cuando escribas tu ecuación en forma de Stratonovich, en lugar de forma de Itô (y asumiendo que $\mu$ y $\sigma$ son suficientemente suaves en sus argumentos). La razón es que en una dimensión, la solución a la ecuación de Stratonovich es una aplicación continua de $W$ en la topología del sup-norma, como observó Doss en 1977.

Esto falla en dimensiones más altas, pero la respuesta a tu pregunta sigue siendo la misma aunque no sé si alguien la haya escrito de esta manera precisamente. (Varias demostraciones del teorema de soporte de Stroock-Varadhan utilizan variantes estrechamente relacionadas con esta afirmación. Nótese que nuevamente es relevante la formulación de Stratonovich).

Answer 2

Como una aproximación para un contraejemplo, considera $X_t=\sin(W_t+1)$. Tiene la diferencial estocástica $$dX_t=(-(1/2)\sin(W_t+1))dt+\cos(W_t+1)dW_t$$ con condición inicial $X_0=\sin(1)$. Entonces $X|{\mathcal{S}_\varepsilon}$ converge a una función constante, que no es la solución de la ecuación sin difusión $dX_t=(-(1/2)\sin(1))dt$.

Esta ecuación no está exactamente en tu forma, pero lo está si permites ecuaciones $2$-dimensionales y consideras $W$ como la primera coordenada.