Sea $\Omega$ el espacio de trayectorias de una variedad riemanniana $M$. Tengo que definir el espacio tangente de $\Omega$ en una trayectoria $\omega$, que denoto con $T_p \Omega$. Creo que este espacio es el espacio vectorial de todos los campos vectoriales $W$ definidos a lo largo de $\omega$ tales que $W(0)=W(1)=0$. ¿Cómo puedo definir con precisión $T_{\omega}\Omega$?
Respuesta
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Martijn
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Dependiendo de la clase de caminos que consideres, obtendrás diferentes espacios de caminos, que son variedades suaves de dimensión infinita, modeladas en diferentes espacios modelo.
Supongamos que eliges caminos suaves. Entonces esto es una variedad modelada en el espacio de Fréchet $C^\infty_0(S^1, \mathbb{R}^n)$. Aquí el cero indica que nos referimos al espacio de caminos que son cero en un punto fijo de $S^1$ (dependiendo de tu modelo de $S^1$).
Ahora, para variedades de dimensión infinita, puedes definir el espacio tangente (cinético) exactamente como en el caso de dimensión finita, como clases de equivalencia de curvas. Sin embargo, ten en cuenta: el espacio tangente algebraico (derivaciones) es mucho más grande y probablemente no sea lo que quieres.
En tu ejemplo, hay un isomorfismo canónico al espacio que mencionaste, el espacio $\Gamma^\infty_0(S^1, \gamma^*TM)$, de secciones que se anulan en tu punto fijo de $S^1$ ($\gamma$ es el punto en el que tomas el espacio tangente).
Es un buen ejercicio para acostumbrarse a estas nociones trabajar en este isomorfismo canónico en este ejemplo.
