Sea $L \subset \mathbb{R}^2$ una línea que atraviesa el origen y sea b $\in \mathbb{R}^2$ cualquier punto.
a.) Encuentra una construcción geométrica del punto más cercano v $\in L$ a b cuando la distancia se mide en la norma euclidiana estándar.
b.) Usa tu construcción para demostrar que hay un único punto más cercano.
c.) Muestra que si $0 \ne$ a $\in L$, entonces la distancia es igual a $\frac{\sqrt{||a||^2||b||^2 - (a * b)^2}}{\|a||} = \frac{|a\times b|}{||a||}$.
Mi intento:
a.)Sea $l_1,l_2$ una base para L. Entonces, el elemento general de $v \in L$ es una combinación lineal de los vectores de la base. Por lo tanto, $x_1l_1 + x_2l_2 = Ax$ donde A es la matriz m x n formada por los vectores de la base y x = $(x_1,x_2)^T$ son las coordenadas de v. Así, el punto más cercano en L a b es $||v-b||^2 = ||Ax - b||^2$ sobre todos los posibles $x \in \mathbb{R}^n$.
b.) No sé cómo hacer esto
c.) No sé cómo hacer esto
