Probabilidad de que x ocurra en dos intentos?

Question

Digamos que tomas una carta de una baraja, la verificas y la vuelves a colocar.

Si la probabilidad de obtener una carta que no sea de tréboles es $\frac{3}{4}$, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra al menos una vez en dos intentos?

No puedes simplemente multiplicarlo por $2$ porque no puede ser $>1$, ¿entonces qué haces?

Answer 1

Hay 3 posibles escenarios:

1. Ocurre en el primer intento (probabilidad de $\frac{3}{4}$). Entonces no importa si intentas de nuevo
2. No ocurre en el primer intento, pero sí en el segundo intento.
3. No ocurre en el primer intento, y tampoco en el segundo intento.

La probabilidad de que ocurra ya sea 2. o 3. es $1-\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$, es decir, que obtuviste una tarjeta de club en el primer intento.

Dado que este es el caso, la probabilidad de obtener nuevamente no-club es $\frac{3}{4}$.

Entonces la probabilidad total de obtener no-club ya sea en el primer intento, o no en el primer intento pero sí en el segundo intento, es: $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{15}{16} \approx 0.9375$

$\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$ sería la probabilidad de obtener una tarjeta no-club dos veces. (Y no sólo al menos una vez, por lo que es un criterio más fuerte con una probabilidad más baja).

Answer 2

Método 1:

Formas en las que puedes sacar al menos un trébol

$\mathbb{P}($sacar no trébol en la primera carta, luego no trébol en la segunda$)=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$

$\mathbb{P}($sacar no trébol en la primera carta, luego trébol en la segunda$)=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{16}$

$\mathbb{P}($sacar trébol en la primera carta, luego no trébol en la segunda$)=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{16}$

Así que la probabilidad total es:

$\mathbb{P}($probabilidad de sacar al menos un trébol$)=\frac{9}{16}+\frac{3}{16}+\frac{3}{16}=\frac{15}{16}$

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Método 2:

También se puede notar que esta probabilidad es $1-\mathbb{P}($sacar trébol ambas veces$)$

$\mathbb{P}($sacar trébol ambas veces$)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$

Entonces, $\mathbb{P}($probabilidad de sacar al menos un trébol$)=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$