2 tiene una raíz cuadrada en $\mathbb{R}$ - explicación de la prueba

Question

¿Alguien puede ayudarme a entender los pasos de la prueba a continuación?

¿Qué se convierten las suposiciones cuando usamos la prueba por contradicción en los casos donde $s^2\gt{2}$ y $s^2\lt{2}$? ¿Podrías por favor enunciar el teorema en forma de una afirmación "si..., entonces... . " y negarlo. Creo que no saber esto me está causando las siguientes confusiones.

No entiendo cómo $t^2\gt{2}$ lleva a contradecir que $s$ es una cota superior mínima. Si primero asumimos que $s^2\gt{2}$ ¿por qué no podría también ser que $t$ tenga $t^2\gt{2}$? ¿No podría ser posible que $t^2\gt{2}$ y $s^2\gt{2}$ con $t\lt{s}$? También tengo problemas con el álgebra y de dónde proviene todo, lo que, nuevamente, siento que es debido a las confusiones anteriores. ¡He tenido problemas con esta prueba durante bastante tiempo y no puedo parecer entender la prueba de nadie!

Teorema: El número $2$ tiene una raíz cuadrada en $\mathbb{R}$.

Prueba:

Sea $A = \{x R : x^2\leq{2}\}$ y observe que $A$ está acotado superiormente, por ejemplo $u = 5$ es una cota superior. Por el axioma de la cota superior inferior, existe una cota superior mínima para $A$. Establezca $s$ como la cota superior mínima de $A$. Mostraremos que $s^2 = 2$. La prueba será por contradicción.

Supongamos primero que $s^2 > 2$. Sea $\epsilon = \frac{s^22}{2s} > 0$ y establezca $t = s\epsilon < s$. Entonces $$t^2 = s^22s\epsilon + \epsilon^2 > s^22s\epsilon = 2,$$

mostrando que $t$ es una cota superior para $A$ y contradiciendo el hecho de que $s$ es la cota superior mínima.

Por otro lado, si $s^2 < 2$ ponga $\epsilon = \text{min}\{\frac{2s^2}{ 2s},1\}$ , y establezca $t = s+ \epsilon > s$. Entonces $$t^2 = s^2 +2s\epsilon + \epsilon^2 \leq s^2 + (2s+1)\epsilon \leq{2},$$ contradiciendo el hecho de que s es una cota superior para A.

Answer 1

El objetivo es demostrar la afirmación: si $s$ es la cota superior mínima de $A=\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \leq 2\}$, entonces $s^2=2$. La demostración por contradicción parte de asumir que $s$ es la cota superior mínima de $A$, aún así $s^2 \neq 2$, y a partir de estas dos suposiciones se obtiene una contradicción. La suposición $s^2\neq 2$ se divide en dos casos posibles: $s^2 > 2$ o $s^2 < 2$.

En el primer caso, $s^2 > 2$, se construye un $t tal que $t^2 > 2$. El hecho de que $t^2 > 2$ implica que $t$ también es una cota superior para $A$. Esto se debe a que si $x \in A$, entonces $x^2 \leq 2 y por lo tanto $x \leq t$. Sin embargo, se había asumido que $s$ era la cota superior mínima de $A$, y acabamos de encontrar otra cota superior que es más pequeña que $s$. Esto es una contradicción.

Answer 2

La suposición de que $s$, el límite superior más pequeño de $A$ tiene la propiedad $s^2>2$ es llevada a una contradicción al mostrar que $s$ no puede ser el límite superior más pequeño si $s^2>2$. Desafortunadamente, la prueba tal como está escrita tiene una pequeña laguna: Partiendo de $s^2>2$, construimos $t=s-\epsilon$ con $\epsilon$ dada y así tenemos

• $t
• $t^2>2$

Inmediatamente, lo último solo significa que $t\notin A$, y no que $t$ sea un límite superior para $A$. Sin embargo, fácilmente se muestra que $\epsilon, por lo tanto $t>0$, por lo tanto si $x>t$ para algún $x\in A$, entonces también $x^2>t^2>2$.