¿Es $ d^m_xP_l(x) d^{m+1}_xP_{l+1}(x)- d^m_xP_{l+1}(x) d^{m+1}_xP_{l}(x)$ positivo?

Question

¿Tiene siempre la expresión

$$ d^m_xP_l(x) d^{m+1}_xP_{l+1}(x)- d^m_xP_{l+1}(x) d^{m+1}_xP_{l}(x)$$ un signo fijo ( ¿siempre es positivo o negativo) en el intervalo (-1,1)? $P_l$ es el polinomio de Legendre de grado l y $m \in \{0,...,l\}$. $d_x^m$ es la m-ésima derivada con respecto a la variable x.

Nota, que esta derivada está estrechamente relacionada con la definición de la función asociada de Legendre mathworld.

No pude probar esto ni siquiera para expresiones simples con wolframalpha, porque no entendió mis entradas. Pero aparentemente si tomamos $m=0$ y $l=0$, esta expresión es uno, así que en caso de que esto sea de alguna manera verdad, entonces la expresión siempre debería ser positiva, creo.

Editar: Bien, ahora revisé varios casos y parece que esto es correcto.

Si algo no está claro, por favor házmelo saber.

Answer 1

Una respuesta parcial por ahora.

Sea: $$B_{m,l}(x)\triangleq\frac{d^m}{dx^m}P_l\frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}P_{l+1}-\frac{d^m}{dx^m}P_{l+1}\frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}P_{l}.$$ Tenemos: $$B_{0,l}(x) = P_l P_{l+1}'-P_{l+1}P_l'$$ entonces: $$(1-x^2) B_{0,l}(x) = P_l ((1-x^2)P_{l+1}') - P_{l+1}((1-x^2)P_{l}') $$ y dado que la ecuación diferencial de Legendre nos da: $$\frac{d}{dx}\left((1-x^2)P_l'\right)=l(l+1)P_l\tag{1}$$ tenemos: $$\frac{d}{dx}(1-x^2)B_{0,l}(x) = (l+1)(l+2)P_l P_{l+1} - l(l+1) P_{l}P_{l+1} =2(1+l)P_l P_{l+1}\tag{2} $$ que es una función impar. Además, dado que $P_l'(0)=-(l+1)P_{l+1}(0)$, tenemos: $$ B_{0,l}(0)= -(l+2) P_l P_{l+2}(0)+(l+1)P_{l+1}(0)^2\approx\frac{2}{\pi} \tag{3}$$ donde $\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}=\sum_{l\geq 0}P_l(0)t^n$, lo que da $P_{2l}(0)=\frac{(-1)^l}{4^l}\binom{2l}{l}$ y $P_{2l+1}(0)=0.

El paso clave es declarar ahora $(3)$ como una cota inferior para $B_{0,l}(0)$ y demostrar que: $$ \left|\int_{0}^{u}2(l+1)P_l P_{l+1}\,dx\right|\leq\frac{2}{\pi}\tag{4} $$ a través de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Las dos desigualdades juntas dan $(1-x^2)B_{0,l}(x)>0$ para $|x|\leq 1$. Por último, tenemos que encontrar una generalización de este enfoque para otros valores de $m$. Me pregunto si es posible usar algún tipo de inducción. De todos modos, todos los ingredientes principales deberían estar ya aquí.

EDITAR: Ok, entendido. Usando la fórmula de Rodrigues generalizada, es fácil ver que nuestra desigualdad es simplemente una generalización de la conocida desigualdad de Turán para polinomios de Legendre: $$ \forall x\in(-1,1),\qquad P_n(x)^2 > P_{n-1}(x)P_{n+1}(x).$$ Al mirar la cuarta prueba de tal desigualdad dada por Szego, podemos ver que solo depende de la identidad: $$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{P_n(x)}{n!} z^n = e^{xz}\,J_0\left(z\sqrt{1-x^2}\right)\tag{5}$$ y del hecho de que la función Bessel $J_0(z)$ tiene solo raíces reales. El hecho interesante es que podemos seguir los mismos pasos de Polya y Szego una vez que diferenciamos $(5)$ con respecto a $x$ $m$ veces. Eso da una prueba de la no anulación de $B_{m,l}(x)$ sobre $(-1,1)$.