¿Cuáles son los autovectores ortogonales del operador de campo?

Question

En la sección 9.2 de Peskin & Schroeder, derivan la función de dos puntos en el formalismo de la integral de camino:

$$\langle \Omega | \mathcal{T} \left\{ \hat{\phi}(x_1)\hat{\phi}(x_2)\right\} | \Omega \rangle $$ $$= \frac{\int \mathcal{D}\phi \ \phi(x_1) \phi(x_2) e^{ i\int d^4 x\ \mathcal{L} }}{\int \mathcal{D}\phi \ e^{ i\int d^4 x\ \mathcal{L} }}. \tag{9.18}$$

El truco para derivar esto es insertar la identidad

$$1 = \int \mathcal{D}\phi\ |\phi\rangle \langle \phi|$$

entre los operadores $\hat{\phi}(x_i)$. Luego podemos cambiar el operador por funciones regulares usando:

$$ \hat{\phi}(x_i) |\phi_i\rangle = \phi(x_i) |\phi_i\rangle.$$

Mi primera pregunta es: ¿cuáles son los estados que forman la base ortogonal completa $|\phi\rangle$? Los autores parecen no especificarlo. No pueden ser simplemente cualquier base ortogonal completa ya que estos estados parecen ser autoestados del operador del campo

$$\hat{\phi}(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_p}}(\hat{a}_p e^{i p\cdot x} + \hat{a}_p^\dagger e^{-i p\cdot x}).\tag{2.25+47}$$

Por lo que entiendo, los estados $|\phi\rangle$ representan todas las posibles configuraciones de campo clásicas (clásicas en el sentido de bien definidas en todos los puntos del espacio en un momento dado, sin incertidumbre) sobre las que integramos entre dos estados de límite. Pero no entiendo cómo estos estados clásicos son los autoestados de $\hat{\phi}(x)$. ¿Hay una expresión sencilla para $|\phi\rangle$ en términos de, por ejemplo, operadores de creación/anihilación?

De hecho, lo que me preocupa es que los autoestados del operador del campo se supone que son estados coherentes, que forman un conjunto sobrecompleto. Lo que significa que si los $|\phi\rangle$'s son estados coherentes, no podemos escribir la identidad como la combinación anterior ya que los estados no son ortogonales (ver sección 8.1.3 de este documento). Mi segunda pregunta es: ¿es posible que los estados coherentes sean los autoestados de otro tipo de "operador de campo", no el mencionado anteriormente? Si es así, ¿cuál es este otro operador? (Resuelto: ver edición a continuación) Tenga en cuenta que en el enlace dado no parecen definir el operador para el cual el estado coherente es un autoestado.

(Relacionado: 148200 y 109343. La respuesta en el primer enlace realmente no responde la pregunta "¿qué es $|\phi\rangle$?" y el segundo enlace solo menciona estados coherentes, que como mencioné, no son ortogonales y, por lo tanto, no pueden ser los estados utilizados en la derivación por Peskin & Schroeder)

EDICIÓN: Como sugirió @Mane.andrea en los comentarios, consulté la sección 4.1 de Condensed Matter Field Theory de Altland & Simons. Parece que definen el estado coherente como el autoestado de los operadores de aniquilación $\hat{a}_i$ específicamente, es decir, la parte de frecuencia positiva del campo mencionado anteriormente. Entonces, la respuesta a mi segunda pregunta parece ser Sí, los estados coherentes son los autoestados de un "operador de campo" diferente.

Answer 1

Creo que encontré una solución con la ayuda de los enlaces de @CosmasZachos. El estado dado por OP aquí no parecía coincidir exactamente con mi definición del operador de campo. Supongo que se debe a que proviene del formalismo de la función de onda de Schrödinger. No estoy totalmente seguro de mi respuesta y no he encontrado nada similar en la web, así que si alguien pudiera verificar esto, lo apreciaría.

Vamos a definir nuestros operadores cuidadosamente:

$$\hat{\phi}(x) = \hat{\phi}_+(x) + \hat{\phi}_-(x),$$

donde $$ \hat{\phi}_+(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_p}}\hat{a}_p e^{-i p\cdot x};\quad \hat{\phi}_-(x) = \left(\hat{\phi}_+(x)\right)^\dagger.$$

Es útil introducir el momento:

$$\hat{\pi}(x) = \frac{\partial\hat{\phi}(x)}{\partial t } = \hat{\pi}_+(x)+\hat{\pi}_-(x),$$

donde $$ \hat{\pi}_+(x) = -i \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \sqrt{\frac{E_p}{2}}\hat{a}_p e^{-i p\cdot x};\quad \hat{\pi}_-(x) = \left(\hat{\pi}_+(x)\right)^\dagger.$$

Las relaciones canónicas de conmutación en tiempo igual son:

$$[\hat{\phi}(\vec{x}),\hat{\pi}(\vec{y})] = i \delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})\qquad [\hat{a}_\vec{p},\hat{a}_\vec{q}^\dagger] = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}).$$

De estas podemos encontrar: $$ [\hat{\phi}(x)_+,\hat{\pi}_-(y)] = \frac{i}{2}\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y}); \qquad [\hat{\phi}_+(\vec{x}),\hat{\phi}_-(\vec{y})] = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_p}e^{i\vec{p}\cdot(\vec{x}-\vec{y})}.$$

Nota que la última relación no es una función delta de Dirac (de hecho es el propagador del campo), es precisamente por eso que el estado dado por OP en el enlace anterior no es un autovector del operador de campo definido aquí.

De hecho, a través de ensayos y errores, creo que encontré un estado $|\phi\rangle$ que satisface $\hat{\phi}(x)|\phi\rangle = \phi(x)|\phi\rangle$ (de nuevo, siéntase libre de verificar):

$$|\phi\rangle \equiv \mathcal{N} \exp\left\{i\int d^3y\ \left(\hat{\phi}_-(y) - 2 \phi(y)\right)\hat{\pi}_-(y)\right\}|0\rangle,$$

donde $\mathcal{N}$ es un factor de normalización (que no he calculado). Ni siquiera estoy seguro de si esos estados son ortogonales, pero al menos sé cómo podría lucir un autovector del operador de campo.

También, para responder a mi segunda pregunta, creo que los estados coherentes se definen como autovectores del operador de campo de frecuencia positiva $\hat{\phi}_+(x)$ únicamente (la parte que contiene los operadores de aniquilación). Uno debe tener cuidado de no confundir los dos operadores. Además, a través de mis investigaciones, noté que algunas referencias solo tratan con estados coherentes o estado propio del campo en una teoría no relativista o en el formalismo de la función de onda de Schrödinger, donde las definiciones podrían ser diferentes de las convenciones de Peskin & Schroeder.