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Pregunta sobre la simetría del producto SymgΣ

Deje Σ ser un género g cerrado superficie de Riemann. Recordemos que el simétrico del producto SymgΣ es el cociente de la g-pliegue Σ××Σ bajo la acción del grupo simétrico Sg g letras.

En el Lema 2.6 de Osvath y Szabo primer papel

http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0101/0101206v4.pdf

en Heegaard Floer de homología, que demuestren que

H1(Σ)H1(SymgΣ).

Por desgracia, no entiendo su prueba. En particular, no entiendo su construcción del mapa de H1(SymgΣ)H1(Σ), ni por qué este mapa invierte el (obvio mapa) H1(Σ)H1(SymgΣ). Podría alguien explicar esto por favor?

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Kyle Puntos 3009

Hay una respuesta a esta pregunta aquí. Pero es muy útil para entender el estilo de argumento de Ozváth y Szabó. Aquí está mi intento:

Hay una evidente mapa de i:H1(Σ)H1(Symg(Σ)) inducida por el mapa i:ΣSymg(Σ) i(x)=[x,x0,,x0] para cualquier fijo elección x0Σ.

Reivindicación 1. Un mapa de S1Symg(Σ) que pierde la diagonal da lugar a un único mapa de una g-pliegue de la cubierta de S1Σ.

Prueba. Dado un mapa continuo f:S1Symg(Σ), definir ˜S={(s,x)S1×Σ:x is an entry of the g-tuple f(s)Symg(Σ)}. Cuenta la primera y la segunda coordenada proyecciones de p1:˜SS1p2:˜SΣ. Desde f puede ser perturbado para evitar la gran diagonal en Symg(Σ), cada fibra, p11(s) se compone de g puntos distintos, y es fácil ver que p1:˜SS1 es en realidad un g-pliegue de la cubierta. A continuación, p2:˜SΣ es un mapa continuo de un g-pliegue de la cubierta de S1, es decir,S1, a Σ.

Esto le da un homomorphism de la cadena de grupos Φ:C1(Symg(Σ))C1(Σ)(f:S1Σ)(p2:˜SΣ). Ahora bien definedness en el nivel de homología:

Reivindicación 2. Un cobordism Z entre el 1 de dos cadenas de a,bC1(Symg(Σ)) da lugar a un ramificada cubierta ˜ZZ˜ZΦ(a)Φ(b).

Prueba. Supongamos F:ZSymg(Σ) satisface F|Z=ab. (Tenga en cuenta que Φ(F|Z)=Φ(ab).) Podemos suponer F éxitos de la gran diagonal en un conjunto discreto de puntos, por lo que ahora el espacio de ˜Z (que se define de forma análoga a ˜S) es un ramificada g-pliegue de la cubierta P1:˜ZZ. Por otra parte, se restringe a una real g-pliegue de la cubierta P1|˜Z:˜ZZ, tal como se dijo anteriormente. Ahora P2:˜ZΣ satisface P2|˜Z=Φ(F|Z)=Φ(ab)=Φ(a)Φ(b), por lo Φ(a)Φ(b) es nullhomologous.

De ello se desprende que Φ está bien definido en la homología. Y aquí está la última parte:

Reivindicación 3. Φ i son inversos el uno del otro.

Prueba. En primer lugar se considera lo Φi lo hace a los mapas, γ:S1Σ que se pierda x0, ya que éstos generan,H1(Σ): Desde iγ:S1Symg(Σ) es de s[γ(s),x0,,x0], la correspondiente cubierta de ˜S es homeomórficos a S1S1, con un componente conectado, que consiste en puntos de (s,γ(s)) y un componente de puntos de (s,x0). A continuación, p2 mapas uno de los componentes a través de γ y el otro a través de la constante mapa de sx0, lo Φ(i[γ])=[γ].

En el otro sentido, primero observar que un bucle γ:[0,1]Symg(Σ), que está basado en[x0,,x0], pero se pierde en la diagonal para todos los t(0,1) es equivalente a una colección de g desordenada bucles γj:[0,1]Σ x0 satisfacción γj(t)γk(t) todos los t(0,1)jk. Fijar un orden en estos bucles, que es equivalente a la fijación de un levantamiento ˜γ:[0,1]Σgγ. Luego, por el mismo argumento que muestra π1(Σg) es isomorfo a π1(Σ)g, podemos homotope ˜γ para trazar las curvas de γj uno por uno, es decir, \tilde \gamma' (t) = \begin{cases} \big(\gamma_1\left(gt \right),\gamma_2(0),\ldots,\gamma_g(0)\big) & 0 \leq t \leq 1/g \\
\qquad \vdots & \quad \vdots \\ \big(\gamma_1(1),\gamma_2(1),\ldots,\gamma_g(gt-g+1)\big) & \frac{g-1}{g} \leq t \leq 1.
\end{casos}
Ahora el proyecto de vuelta a la Symg(Σ) cuando el pedido no importa. Desde γj(0)=γj(1)=x0, tenemos un bucle que es de la formaγ(t)=[γj(gtj+1),x0,,x0](j1)/gtj/g. Esto demuestra que todos los bucles en Symg(Σ) puede ser realizado en la forma s[γ1(s),x0,,x0]. (Tenga en cuenta que esta muestra i es surjective, que es suficiente para que nuestro reclamo. Pero vamos a seguir adelante.) Por lo que cualquier bucle de γ:S1Σ puede ser realizado como iγ1 algunos γ1:S1Σ. A continuación, tenemos de nuevo ˜SS1S1 p2:˜SΣ la restricción de a γ1 en uno de los componentes y una constante mapa en el otro componente. A continuación,iΦ([γ])=i[γ1]=[iγ1]=[γ], como se desee.

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