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¿Si zz¯=1, corresponden z y z a puntos opuestos en la esfera de Riemann?

Sé que si los números complejos z y z corresponden a puntos opuestos en la esfera de Riemann, entonces debe ser el caso que $z\bar{z}'=-1.

¿Es cierto lo contrario, que zz¯=1 implica que los puntos correspondientes en la esfera de Riemann son puntos opuestos?

Asocio (x1,x2,x3) con z y (x1,x2,x3) con z. La correspondencia usual da z=x1+ix21x3,z=x1+ix21x3. Entonces llego a una ecuación zz¯=x1+ix21x3x1ix21x3=1 lo que implica x1x1+x2x2+x3x3+(x1x2x1x2)i=1+x3+x3. ¿Se puede concluir que (x1,x2,x3)=(x1,x2,x3) a partir de esta relación? Gracias.

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user3035 Puntos 91

Sólo hay un posible número complejo w para el cual zw puede ser igual a 1, dado por w=1z. Así que ya que zz¯=1 para z y z correspondientes a puntos antipodales en la esfera de Riemann, si zw¯=1 también deberías tener w¯=z¯ o w=z.

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