Sé que si los números complejos $z$ y $z'$ corresponden a puntos opuestos en la esfera de Riemann, entonces debe ser el caso que $z\bar{z}'=-1.
¿Es cierto lo contrario, que $z\bar{z}'=-1$ implica que los puntos correspondientes en la esfera de Riemann son puntos opuestos?
Asocio $(x_1,x_2,x_3)$ con $z$ y $(x'_1,x'_2,x'_3)$ con $z'$. La correspondencia usual da $$ z=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3},\;\;\;\;\; z'=\frac{x'_1+ix'_2}{1-x'_3}. $$ Entonces llego a una ecuación $$ z\bar{z}'=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}\cdot\frac{x'_1-ix'_2}{1-x'_3}=-1 $$ lo que implica $$ x_1x'_1+x_2x'_2+x_3x'_3+(x'_1x_2-x_1x'_2)i=-1+x_3+x'_3. $$ ¿Se puede concluir que $(x_1,x_2,x_3)=-(x'_1,x'_2,x'_3)$ a partir de esta relación? Gracias.
