¿Si $z\bar{z}'=-1$, corresponden $z$ y $z'$ a puntos opuestos en la esfera de Riemann?

Question

Sé que si los números complejos $z$ y $z'$ corresponden a puntos opuestos en la esfera de Riemann, entonces debe ser el caso que $z\bar{z}'=-1.

¿Es cierto lo contrario, que $z\bar{z}'=-1$ implica que los puntos correspondientes en la esfera de Riemann son puntos opuestos?

Asocio $(x_1,x_2,x_3)$ con $z$ y $(x'_1,x'_2,x'_3)$ con $z'$. La correspondencia usual da $$z=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3},\;\;\;\;\; z'=\frac{x'_1+ix'_2}{1-x'_3}.$$ Entonces llego a una ecuación $$z\bar{z}'=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}\cdot\frac{x'_1-ix'_2}{1-x'_3}=-1$$ lo que implica $$x_1x'_1+x_2x'_2+x_3x'_3+(x'_1x_2-x_1x'_2)i=-1+x_3+x'_3.$$ ¿Se puede concluir que $(x_1,x_2,x_3)=-(x'_1,x'_2,x'_3)$ a partir de esta relación? Gracias.

Answer 1

Sólo hay un posible número complejo $w$ para el cual $zw$ puede ser igual a $-1$, dado por $w = -{1 \over z}$. Así que ya que $z\bar{z'} = -1$ para $z$ y $z'$ correspondientes a puntos antipodales en la esfera de Riemann, si $z\bar{w} = -1$ también deberías tener $\bar{w} = \bar{z'}$ o $w = z'$.