Comparando tamaños de conjuntos de números naturales

Question

Parece natural considerar $\lim_{q \rightarrow 1^-} \sum_{n \in S} q^n - \sum_{n \in T} q^n$, cuando existe, como una forma de comparar los tamaños de dos conjuntos $S, T \subseteq {\bf N}$ que tienen la misma densidad; por ejemplo, $\{0,2,4,...\}$ y $\{1,3,5,...\}$ ambos tienen densidad 1/2, pero se podría decir que el primer conjunto contiene "medio elemento más" que el segundo, basado en el hecho de que $1-q+q^2-q^3+...$ converge a 1/2 cuando $q$ tiende a 1. ¿Se ha desarrollado en algún lugar este refinamiento (no arquimediano, no invariante bajo traslación) del concepto de densidad, o algo similar a esto?

Poner $|S|_q = \sum_{n \in S} q^n$. Así como $|\{0,2,4,6,...\}|_q-|\{1,3,5,7,...\}|_q \rightarrow 1/2$ cuando $q \rightarrow 1^-$, parece empíricamente que $$|\{0,1,4,9,16,...\}|_q-|\{0,2,6,12,20,...\}|_q \rightarrow 1/2,$$ $$|\{0,1,5,12,22,...\}|_q-|\{0,2,7,15,26,...\}|_q \rightarrow 1/3,$$ y $$|\{0,1,3,6,10,..,\}|_q - \sqrt{2} |\{0,1,4,9,16,...\}|_q \rightarrow \sqrt{2}/2.$$ ¿Existe algún lugar en la literatura donde se puedan encontrar resultados como estos, como parte de un conjunto general para medir conjuntos que "ven" las cosas a un nivel más fino que la simple densidad? Para dar un último ejemplo, compitiendo entre números "malos" y "odiados", es fácil demostrar que $$|\{0,3,5,6,9,10,12,15,...\}|_q-|\{1,2,4,7,8,11,13,14,...\}|_q \rightarrow 0.$$

[AGREGADO EL 17 DE MAYO DE 2017: Ahora hay (al menos) un artículo que utiliza herramientas analíticas para generalizar la noción de cardinalidad de conjuntos de números naturales: mi preimpresión "Empaquetado unidimensional: la maximalidad implica racionalidad", disponible en https://arxiv.org/abs/1704.08785]

Answer 1

Su publicación expresa la misma idea sobre la comparación de conjuntos infinitos que en mi publicación anterior, con la diferencia de que usted utiliza la suma de Abel mientras que yo utilicé la suma de Ramanujan y la regularización de Zeta. Para ser más preciso, utilicé la fórmula de Faulhaber para la suma porque da los mismos resultados que la suma de Ramanujan (no conozco un término adecuado para este método de suma):

$$\sum _{x\ge0}^\Re f(x)=-\sum _{n=1}^\infty \frac {f^{(n-1)}(0)}{n!} B_n(0)$$

Ahora, abordando sus preocupaciones, expresadas en los comentarios a la otra respuesta, hay un conjunto de métodos de suma similares que son en su mayoría compatibles entre sí. Se puede ver que algunos de ellos dependen solo de los valores de la serie en los puntos enteros, mientras que otros involucran integrales y derivadas. Por lo tanto, claramente significa que se pueden construir ejemplos donde estos métodos dan resultados diferentes.

Mi firme convicción, incluso si no tengo una prueba, es que todos estos métodos deberían dar los mismos resultados para funciones "bien comportadas". Por "bien comportadas" me refiero a funciones que son iguales a sus series de Newton:

$$f(x) = \sum_{k=0}^\infty \binom{x-a}k \Delta^k f\left (a\right)$$

Llamo a dichas funciones "discretamente analíticas", "Newtonianas" o "Newtonianas".

El criterio también se puede escribir en la siguiente forma:

$$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k f(k)}{(x-k)k!(n-k)!}}{\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k }{(x-k) k!(n-k)!}}$$

Algunas funciones tendrían esta serie divergente, pero su expansión bidireccional convergería:

$$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sum _{k=-n}^n \frac{(-1)^k f(k)}{(x-k) (k+n)! (n-k)!}}{\sum _{k=-n}^n \frac{(-1)^k}{(x-k) (k+n)! (n-k)!}}$$

Incluiría también a tales funciones en las "Newtonianas".

Answer 2

De hecho, antes se han considerado diferentes nociones de sumabilidad (ver en particular la suma de Abel). Por ejemplo, en el estudio de los números primos, una observación famosa de Chebyshev es que hay más primos de la forma $3\pmod 4$ que $1\pmod 4$. Por lo general, esto se interpreta en el sentido de que el número de primos hasta $x$ que son $3\pmod 4$ es mayor que el número de primos que son $1\pmod 4$; esto es cierto la mayor parte del tiempo, pero no siempre. La formulación original de Chebyshev iba en la línea de su pregunta: quería saber si $$\lim_{q \to 1^-} \Big( \sum_{p \equiv 3\pmod 4} q^{p} - \sum_{p\equiv 1\pmod 4} q^p\Big) = \infty.$$ Hardy y Littlewood y Landau ya señalaron hace cien años que esto es equivalente a la hipótesis de Riemann para $L(s,\chi_{-4}) =1/1^s-1/3^s+1/5^s-\ldots$. La misma pregunta para la densidad natural es más sutil, implica no solo la RH sino también las relaciones entre los ceros. En general, las sumas suaves en la pregunta serían más fáciles de manejar que los problemas correspondientes de las funciones de conteo de los conjuntos. Para algunas referencias sobre el ejemplo en particular dado aquí, ver Ford and Konyagin, Rubinstein and Sarnak, o Granville and Martin.