Mapa biholomorfo entre el semiplano superior y una porción del disco unitario

Question

Sea $\mathbb{H} = \{z\in \mathbb{C}| \ Im(z) > 0 \}$.

Quiero encontrar un mapa biholomorfo entre $\mathbb{H}$ y $D(0,1) \cap \{$primer cuadrante$\}$.

¿Alguna pista?

Answer 1

Descomponlo en pasos más simples.

Sabes cómo mapear conformemente un semiplano en un disco. Eso debería hacerlo fácil encontrar un mapa conforme entre un cuadrante (un medio semiplano) y un medio disco.

Encontrar mapas conformes entre un semiplano y un cuadrante, respectivamente un medio disco y un cuarto de disco también debería ser fácil. Luego los compones

Semiplano $\to$ cuadrante $\to$ medio disco $\to$ cuarto de disco.