Encontrar la función de densidad marginal de estadísticas de segundo orden

Question

Supongamos que $X_1$, $X_2$, $X_3$ es una muestra aleatoria (iid) de una población con pdf

$f(x) = 3x^2$ si $0

Me gustaría calcular $g_2(y_2)$ que es la pdf marginal de las estadísticas de orden $Y_2$ utilizando la pdf conjunta $g(y_1,y_2,y_3)$ de las estadísticas de orden $(Y_1,Y_2,Y_3)$. Y también, me gustaría encontrar la pdf marginal de las estadísticas de segundo orden, $Y_2$.

No pude hacer esta pregunta.

Answer 1

Tal vez más un comentario que una respuesta... De todos modos, sin pensar demasiado y según Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Order_statistic:

$F_{X(2)}(x)=\sum_{j=2}^3 {3\choose j} F^{j}_X(x)(1-F_X(x))^{n-j}$ [1]

Por lo tanto:

$f_{X(2)}(x))=6F_X(x)(1-F_X(x))f_X(x)$

Ahora podemos calcular $F_X(x)=x^3$, de modo que:

$f_{X(2)}(x))=18x^5(1-x^3)$,

lo cual puedes comprobar que integra a 1:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0%5E1+18x%5E5%281-x%5E3%29

(consideramos todos los dominios $x \in [0,1]$)

ACTUALIZACIÓN. Demostración de [1]: Dado que parece que [1] no es tan difícil de probar, añado para completitud un argumento. Consideremos $P(X_{(2)}\le x)$. Cuando $X_{(2)}\le x$ hay dos posibilidades. O bien $X_1, X_2$ y $X_3$ son todos $\le x$, un evento que ocurre con probabilidad $(1-F_X(x))^3$, o dos números son $\le x$ y uno mayor que $x$. Este evento ocurre con probabilidad ${3 \choose 2}F_X(x)^2(1-F_X(x))$, ya que debemos elegir dos variables $\le x$ y la otra mayor $\ge x$. Sumando estos eventos mutuamente excluyentes obtenemos [1]. Un argumento similar debería llevar también al resultado general de Wikipedia, básicamente tenemos que elegir cuántas (y cuáles) muestras caen a la izquierda de $x$, y cuántas a la derecha.