Encuentre $\sum f_n(x)$

Question

Problema

Para un entero no negativo $n$, define

$$f_n\colon [0, 1]\to\mathbb{R}, \quad f_n(x)=\int_0^x f_{n-1}(t)dt\quad (n>0),\quad f_0(x) = e^x$$

Encuentra $g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$

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Mi intento

Calcula $f_n(x)$ para algunos $n$ :

$f_0=e^x$

$f_1=e^x-1$

$f_2=e^x-x-1$

$f_3=e^x-\frac{x^2}{2}-x-1$

entonces, $f_n$ tiene una expansión en serie hasta el grado $(n-1)$ de $e^x$.

Mi conjetura es :

$$g(x)= \sum_{n=0}^\infty f_n(x)=e^x + \sum_{n=1}^\infty f_n(x) = e^x$$

Pero no sé cómo justificar esto.

Answer 1

Si encontramos una manera de justificar que podemos diferenciar $g$ término a término, obtenemos:

$$g'(x) = \sum_{n\ge 0} f_n'(x) = f'_0(x) + \sum_{n\ge 1} f_n'(x) = f'_0(x) + \sum_{n\ge 1} f_{n-1}(x) \implies$$

$$g'(x) = f'_0(x) + \sum_{n\ge 0} f_{n}(x) = e^x + g(x)$$

Obtenemos $g(x) = (x+1) e^x$

Answer 2

Un teorema establece

Si $(f_{n})$ es una secuencia de funciones diferenciables en $[a,b]$ tal que $\lim\limits_{n\to \infty }f_{n}(x_{0})$ existe (y es finito) para algún $x_{0}\in [a,b]$ y la secuencia $(f^\prime_{n})$ converge uniformemente en $[a,b]$, entonces $(f_{n})$ converge uniformemente a una función $f$ en $[a,b]$, y $f^\prime(x)=\lim\limits_{n\to \infty }f^\prime_{n}(x)$ para $x\in [a,b]$.

Ahora utilizando el Teorema de Taylor, para $x \in [0,1]$ y $n \ge 0$, existe un $\xi \in (0,x)$ tal que

$$f_{n+1}(x) = e^x - P_n(x) = \frac{e^\xi}{(n+1)!} x^{n+1}$$ donde

$$P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}.$$ Por lo tanto $\vert f_{n+1}(x) \vert \le \frac{e}{(n+1)!}$. Lo que implica que $\sum f^\prime_n$ converge uniformemente según el criterio de Weierstrass. Como $f_n(0) = 0$ para $n \ge 1$, podemos aplicar el teorema mencionado anteriormente.

Y concluir que

$$g(x)=(x+1) e^x$$ como se afirma en la respuesta de JustANoob.