En la forma cerrada de $\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{dxdydz}{1-\frac{z}{3}(x+\sqrt{xy}+y)}$

Question

Me gustaría saber si es posible calcular en forma cerrada, o bien qué trabajo se puede hacer al respecto, la integral definida $$\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{3dxdydz}{3-z(x+\sqrt{xy}+y)},\tag{1}$$ donde me inspiré en una representación integral conocida para la constante de Apéry que involucra el volumen $x\cdot y\cdot z$ en el denominador, y en la fórmula para el volumen de un tronco de pirámide cuadrada de base $\sqrt{x}$ y $\sqrt{y}$ y altura $z$, como referencia agrego la media heroniana de Wikipedia.

Es fácil comprobar la integración del logaritmo $$\int_0^1 \frac{1}{3-z(x+\sqrt{xy}+y)}dz=\frac{\log 3-\log(3-x-\sqrt{xy}-y)}{x+\sqrt{xy}+y}$$, pero los cálculos utilizando un CAS (y el tiempo estándar de computación con mi computadora), que intenté después de este paso, me parecen muy tediosos de evaluar. Sospecho que ahora una clave importante para evaluarlo debería ser explotar la simetría o un cambio de variable adecuado.

Pregunta. Me gustaría saber si es posible evaluar en forma cerrada (en términos de constantes conocidas y/o valores particulares de funciones especiales) la integral definitiva anterior $(1)$. Si no es factible obtener la forma cerrada que menciono, explique por qué o agregue qué trabajo se puede hacer. Muchas gracias.

Si esta integral está en la literatura, siéntase libre de referir la literatura en su respuesta o comentario y puedo leer el resultado de la literatura.

Edición: (ver comentarios, por favor). No sé si a partir de este paso se puede obtener la integral en forma cerrada. No dude en dar más información, muchas gracias.

Usando las pistas anteriores en los comentarios puedo decir que es posible reducir la integral sobre $xy$ a una integral unidimensional mediante el uso de coordenadas polares en el plano $xy$

$$\int_0^1\int_0^1\frac{dxdy}{1-\frac{z}{3}(x+\sqrt{xy}+y)}=2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^{\sec \theta}\frac{drd\theta}{\frac{3}{r}-z(\cos\theta+\sqrt{\cos\theta\sin\theta}+\sin\theta)},$$, donde la integral interna es igual a $$\int_0^{\sec\theta}\frac{dr}{\frac{3}{r}-z(\cos\theta+\sqrt{\cos\theta\sin\theta}+\sin\theta)}=\frac{-A\sec\theta-3\log(3-A\sec\theta)+3\log 3}{A^2},$$, siendo $A=z(\cos\theta+\sqrt{\cos\theta\sin\theta}+\sin\theta)$.

---

Dado que la integral parece muy difícil, voy a aceptar una respuesta que muestre qué trabajo se puede hacer (ver la Pregunta) tan pronto como expire la recompensa.

Answer 1

Permítanme expandir el integrando en potencias de $z$ and integrar sobre $z$, $$I=\int_0^1 dx\int_0^1 dy\int_0^1 dz\;\frac{3}{3-z(x+\sqrt{xy}+y)}$$ $$\qquad\qquad=\sum_{n=0}^\infty\,\frac{3^{-n}}{n+1} \int_0^1 dx\int_0^1 dy\;(x+\sqrt{xy}+y)^n.$$ La integral sobre $x$ and $y$ es un elemento $c_{n}\in\mathbb{Q}$, $$I=\sum_{n=0}^\infty\,\frac{3^{-n}}{n+1}c_n,\;\;c_n=\int_0^1 dx\int_0^1 dy\;(x+\sqrt{xy}+y)^n,$$ $$\{c_0,c_1,c_2,\ldots\}=\{1,\tfrac{13}{9},\tfrac{149}{60},\tfrac{1667}{350},\tfrac{18623}{1890},\tfrac{69667}{3234},\ldots\}.$$ Todavía no he logrado encontrar una expresión cerrada para $c_n$ válida para todos los enteros $n$, pero parece factible. Al menos entonces tendríamos la integral deseada como una suma sobre coeficientes racionales.

---

_{Con la contribución de FusRoDah para <span class="math-container">$cn$</span>, y llevando a cabo la suma sobre <span class="math-container">$n$</span>, encuentro <span class="math-container">$$I=\sum{a,b=0}^\infty\frac{12 \Gamma (a+b+1) \left(3^{-a-\frac{b}{2}} B{\frac{1}{3}}\left(\frac{b}{2}+1,-a-b\right)-B{\frac{1}{3}}(a+b+1,-a-b)\right)}{(2 a+b) (2 a+b+2) \Gamma (a+1) \Gamma (b+1)},$$</span> (con <span class="math-container">$B$</span> la función beta incompleta).}