Paquetes principales en disco formal y problema de elevación

Question

Encontré la siguiente publicación G-principal bundles on formal disc preguntando acerca de la trivialidad de los $G$-bundles principales en $\operatorname{Spf}(\mathbb{C}[[t]])$ siendo $G$ un grupo algebraico lineal sobre $\mathbb{C}$. En la sección de respuestas, un usuario da la siguiente respuesta:

Sea $P\rightarrow\operatorname{Spf} \mathbb{C}[[t]]$ un $G$-torsor (localmente, en el sentido de Zariski) para un grupo algebraico lineal $G$ sobre $\mathbb{C}$. Para mostrar que $P$ es trivial, basta con exhibir una sección $\operatorname{Spf}\mathbb{C}[[t]]\rightarrow P$. Dado que $\mathbb{C}$ es cerrado algebraicamente, hay un punto racional $\operatorname{Spec}\mathbb{C}\rightarrow P$. Resta extender esta sección sobre $\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ a un vecindario infinitesimal $\operatorname{Spf}\mathbb{C}[[t]]$. Un mapa $\operatorname{Spf}\mathbb{C}[[t]]\rightarrow P$ es un sistema compatible de mapas $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[t]/t^n\rightarrow P$. Comenzando con $\operatorname{Spec}\mathbb{C}\rightarrow P$, este es el problema de elevación planteado por la suavidad formal, que puede resolverse dado que $G$ es suave.

No comprendo completamente la respuesta. ¿Podrías explicarme con un poco más de detalle cuál es el problema de elevación planteado por la suavidad formal y cómo podemos resolverlo utilizando la suposición de que $G$ es suave?

Por otro lado, me gustaría saber si esto sigue siendo cierto en el caso relativo, es decir, si cualquier $G$-bundle principal en $\operatorname{Spf}(\mathbb{C}[[t]])\times_{\operatorname{Spec}\mathbb{C}} S$ es trivial, siendo $S$ un esquema sobre $\mathbb{C}$.

Gracias por tu tiempo y esfuerzo con este novato.

Answer 1

Un lugar para ver algunas palabras sobre tales cosas es la sección del Proyecto Stacks sobre morfismos formalmente lisos. Las definiciones y lemas que uso en esta publicación son de allí, por ejemplo.

Definición. Una inmersión cerrada de esquemas $X\hookrightarrow X'$ se llama un espesamiento de primer orden si el haz de ideales que recorta $X$ dentro de $X'$ tiene cuadrado cero.

Definición. Un mapa de esquemas $f:X\to S$ se llama formalmente liso si para cualquier diagrama

$$\require{AMScd} \begin{CD} T @>>> X\\ @VVV @VV{f}V \\ T' @>>> S \end{CD}$$

donde $T\to T'$ es un espesamiento de primer orden, existe un levantamiento único $T'\to X$ haciendo conmutar el diagrama. (Este es el problema de levantamiento que la suavidad formal está diseñada para resolver).

La situación a la que queremos aplicar esto es cuando $f$ es el mapa $P\to \operatorname{Spf} \Bbb C[[t]]$. Tomando un punto $\Bbb C$ en $P$, obtenemos un mapa $\operatorname{Spec} \Bbb C\to P$ que da un mapa $\operatorname{Spec} \Bbb C\to \operatorname{Spf} \Bbb C[[t]]$ después de la composición con $f$. Pero esto se factoriza a través de $\operatorname{Spec} \Bbb C[t]/t^2$ porque $\Bbb C[[t]]\to \Bbb C$ se factoriza a través de $\Bbb C[t]/t^2$, por lo que obtenemos el diagrama de la definición de suavidad formal. Si sabemos que $f$ es formalmente suave, obtenemos un mapa $\operatorname{Spec} \Bbb C[t]/t^2\to P$ haciendo conmutar el diagrama. Como $\operatorname{Spec} \Bbb C[t]/t^n \to \operatorname{Spec} \Bbb C[t]/t^{n+1}$ es un espesamiento de primer orden para cualquier $n$ y cualquier mapa $\operatorname{Spec} \Bbb C[t]/t^n\to\operatorname{Spf}\Bbb C[[t]]$ se factoriza a través de $\operatorname{Spec} \Bbb C[t]/t^{n+1}$, podemos seguir haciendo esto y obtener un sistema compatible de mapas $\operatorname{Spec} \Bbb C[t]/t^n \to P$ que se ensambla en un mapa $\operatorname{Spf} \Bbb C[[t]]\to P$ por la definición de $\operatorname{Spf}$.

Lo único que queda es verificar que $P\to\operatorname{Spf} \Bbb C[[t]]$ es formalmente suave. Pero resulta que los morfismos formalmente suaves coinciden con los morfismos lisos bajo una hipótesis de finitud leve:

Lema (Stacks 02H6): Sea $f:X\to S$ un morfismo de esquemas. Los siguientes son equivalentes:

1. El morfismo $f$ es liso, y
2. el morfismo $f$ es localmente de presentación finita y formalmente suave.

Dado que $G$ es liso y localmente de presentación finita sobre $\Bbb C$, tenemos que $P$ es liso y localmente de presentación finita sobre $\operatorname{Spf}\Bbb C[[t]]$ y podemos ejecutar el argumento anterior sin problemas.

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La generalización que preguntas con torsores sobre $\operatorname{Spf} \Bbb C[[t]] \times S$ es más difícil. Especialmente, no hay razón para que tengamos una sección sobre esta base, lo cual es un problema: encontrar una sección $S\to P$ donde $P$ es tu tensor es lo primero que tenemos que hacer para ejecutar el argumento anterior, y no hay razón para que podamos encontrar eso en general.