Lo que distingue a los espacios topológicos de los gráficos?

Question

Topología no "trabajo" si uno revertir la "dirección" en la definición de continuo mapas de $f$:

$$\text{open}(x) \rightarrow \text{open}(f(x))$$

Se tiene que ser

$$\text{open}(f(x)) \rightarrow \text{open}(x)$$

Para los gráficos – entre otros – las cosas se ven diferentes. Usted también puede definir gráfico homomorphisms como asignaciones $f$ satisfactorio

$$\text{R}(x,y) \rightarrow \text{R}(f(x),f(y))$$

o la satisfacción de

$$\neg\text{R}(x,y) \rightarrow \neg\text{R}(f(x),f(y))$$

que es equivalente a

$$\text{R}(f(x),f(y)) \rightarrow \text{R}(x,y)$$

¿Cuál es la lección que se desprende de esta observación? Lo que distingue a los espacios topológicos de los gráficos (con sus respectivos "natural" morfismos)?

Hay otra – tal vez más categórico – formulación de esta observación?

Answer 1

Primero vamos a echar un vistazo a los gráficos con el borde de preservación de mapas y gráficos, con el borde que reflejan los mapas. Dado algunas gráfico de $R$, tenemos el grafo dual $\neg R$ a que los bordes exactamente donde $R$ no tiene bordes. A continuación, $f : R \to Q$ es el borde de preservación de iff $f : \neg R \to \neg Q$ es el borde que lo refleja. Así, mientras que nosotros tenemos dos diferentes categorías aquí, son equivalentes. El borde de preservación de los mapas son exactamente tan interesante como el borde que reflejan los mapas (para grafos arbitrarios).

No existe el correspondiente auto-dual en la topología. Si el intercambio de los bloques abiertos con el no se abre, no se puede conseguir una nueva topología. De manera continua mapas y mapas abiertos pueden ser diferentes. La razón por la continua mapas son la interesante es la existencia de Sierpinski espacio de $\mathbb{S} := (\{\bot,\top\}, \{\emptyset, \{\top\}, \{\bot,\top\})$. Un subconjunto de un espacio topológico es abrir el fib de su función característica en $\mathbb{S}$ es continua. Las funciones abiertas no tienen una forma similar a recuperar el abierto de conjuntos. De hecho, usted puede hacer topología de partida con las funciones continuas y $\mathbb{S}$, y derivar el resto (llamado sintético de la topología).