En mi libro de texto, vi un ejemplo sobre la Transformada de Fourier y no pude entender algo en él.
\begin{gather*} \mathcal{F}({e^{-ax^{2}}})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}e^{-ax^{2}}dx \\ =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx-ax^{2}}dx \end{gather*}
Ok, hasta aquí es muy obvio. Pero ahora, el siguiente paso es confuso:
\begin{equation} \mathcal{F}({e^{-ax^{2}}})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}exp[-a(x+\frac{ik}{2a})^{2}-\frac{k^{2}}{4a}]dx \end{equation}
No entiendo aquí. ¿Cómo pudo obtener eso?
Y los siguientes pasos son nuevamente claros:
\begin{gather*} \mathcal{F}({e^{-ax^{2}}}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{k^{2}}{4a})\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^{x}}dy\end{gather*} donde $y=(x+\frac{ik}{2a}) \implies$
\begin{gather*}\mathcal{F}({e^{-ax^{2}}}) = \sqrt{\frac{1}{2a}}exp(-\frac{k^{2}}{4a}) \end{gather*}
