Supongamos que $M$ es una variedad suave y $U$ es un vecindario abierto de $p\in M$, sea $\{X_1,\ldots,X_n\}$ campos vectoriales definidos en $U$ tal que para cada $q\in U$ el conjunto $\{(X_1)_q,\ldots, (X_n)_q \}$ es una base para $T_qM$. Quiero averiguar bajo qué condiciones es posible encontrar una carta $(V,\phi)$ alrededor de $p$ tal que $V\subset U$ y $$(*)\quad (X_i)_q=\frac{\partial}{\partial\phi^i}\Bigr|_q\quad \text{ for } i=1,\ldots,n\quad \text{ and every }q\in V$$ Aquí está mi intento de la situación. Sea $(W,\psi)$ una carta alrededor de $p$, ahora podemos escribir $X_i$ en componentes como $$X_i=\sum_j X_i^j\frac{\partial}{\partial\psi^j}$$ Queremos un mapa $\phi:W\to \mathbb{R}^n$ que cumpla con $(*)$ en sus coordenadas, las coordenadas $(X_i'^j)$ están dadas por la regla de la cadena como $$(X_i'^j)=\sum_k\frac{\partial \phi^j}{\partial \psi^k}X_i^k $$ Por lo tanto, necesitaríamos que $$\frac{\partial \phi^j}{\partial \psi^k}=\frac{1}{(X_i^j)}\delta_k^j$$ Por lo tanto, el problema obvio es que $X_i^j$ puede ser cero, ¿cómo se podría sortear esto? ¿Es siquiera posible lo que estoy intentando hacer?
Respuesta
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No necesitas tu última ecuación. Hay otra alternativa, primero nota que (en tu notación) $$X_i=\sum_j \sum_k X_i^k\frac{\partial \phi^j}{\partial \psi^k}\frac{\partial }{\partial\phi^j}$$ Quieres la matriz $M$ con $M_{i}^j=(\partial\phi^j/\partial\psi^i)$ que sea inversa de la matriz $N$ con $N_{i}^j=(X_i^j)$ de modo que $NM=Id$, lo cual se traduce en $$(NM)_i^j=\delta_i^j $$ $$\sum_kN_i^kM_k^j=\sum X_i^k \frac{\partial \phi^j}{\partial \psi^k}=\delta_i^j $$ Esta es la condición necesaria para lograr lo que deseas. Ahora recuerda que $$\frac{\partial\phi^j}{\partial \psi^i}\Bigr|_p\equiv D_i(\phi^j\circ \psi^{-1})(\psi(p)) $$ Entonces la matriz $M$ es el jacobiano de $\phi\circ \psi^{-1}$, que es $C^\infty$. Ahora, como las filas de $N$ forman una base, entonces $N$ es invertible. Definamos $f:=\phi \circ \psi^{-1}$. Lo que queremos es encontrar el $f$ adecuado tal que $$Df(\psi(p))=N^{-1} $$ Este es un sistema de $n^2$ EDO con condición de valor inicial $f(\psi(p))=0$ (Para decir algo) que ciertamente satisface las condiciones para la existencia y unicidad de una solución. Por lo tanto, de hecho hay una carta $(V,\phi)$ alrededor de $p$ y contenida en $U$ tal que en p tenemos $$(X_i)_p=\frac{\partial}{\partial\phi^i}\Bigr|_p $$ Para extender esto a un vecindario de $p$, se necesitan algunas condiciones más fuertes (Como $[X_i,X_j]=0$). Ver el Teorema de Frobenius aquí o en cualquier buen libro de Geometría Diferencial.
