Ecuación utilizando $f(x)=\frac{\sin\pi x}{x^2}$

Question

Si $f(x)= \frac{\sin \pi x}{x^2}$, $x>0$

Sea $x_1 todos los puntos de máximo local de $f$.

Sea $y_1 todos los puntos de mínimo local de $f$.

Entonces, ¿cuál de las siguientes opciones es(son) correcta(s)?

(A) $x_1

(B) $x_{n+1}-x_n>2$ para todo $n$

(C) $x_n \in (2n,2n+\frac{1}{2})$ para cada $n$

(D) $|x_n-y_n|>1$ para cada $n$ La respuesta oficial es $B,C,D$

Mi enfoque es el siguiente

$$y' = \frac{x^2 \times \pi \times \cos \pi x - 2x\sin \pi x}{x^4}$$

$$y' = \frac{x^2 \times \pi \times \cos \pi x - 2x\sin \pi x}{x^4} = \frac{x \times \pi \times \cos \pi x - 2\sin \pi x}{x^3} = \frac{2\cos \pi x \left( \frac{\pi x}{2} - \tan \pi x \right)}{x^3}$$

Deberíamos considerar $x\in\frac{1}{2},\frac{3}{2},\ldots.$ como punto de inflexión aunque $\tan\pi x$ no esté definido porque necesitamos considerar la parte del numerador $\pi x\cos \pi x - 2\sin \pi x$

Answer 1

Solo la opción $A)$ es correcta. $$x_1=\frac 12\;\;,\; y_1=\frac 32$$

Sea $$f(x)=\frac{\sin(\pi x)}{x^2}$$

es claro que $$(\forall x>0)\;\; -\frac{1}{x^2}\le f(x)\le \frac{1}{x^2}$$

Los máximos locales son tales que $$f(x_i)=\frac{1}{x_i^2}$$ o $$\sin(\pi x_i)=1$$ entonces $$x_i=\frac 12+2n$$ con $n\ge 0$.

Entonces, $$x_i\in\left\{\frac 12,\frac 52,\frac 92,\ldots\right\}$$ de la misma manera, $$y_i\in\left\{\frac 32,\frac 72,\frac{11}{2},\ldots\right\}$$

Answer 2

$$f'(x)=\frac{\pi x \cos (\pi x)-2 \sin (\pi x)}{x^3}$$ $$f'(x)=0\to \sin(\pi x)=\pi x\cos(\pi x)\tag{1}$$ Second derivative is $$f''(x)=-\frac{\left(\pi ^2 x^2-6\right) \sin (\pi x)+4 \pi x \cos (\pi x)}{x^4}$$ To understand which are max/min we use second derivative test using relation $(1)$ in the second derivative $$f''(x^*)-\frac{\left(\pi ^2 x^2-6\right) \sin (\pi x)+4 \sin(\pi x)}{x^4}=-\frac{\left(\pi ^2 x^2+4 \pi -6\right) \sin (\pi x)}{x^4}$$ As the factor $\left(\pi ^2 x^2+4 \pi -6\right) $ is positive for any $x$ we have that second derivative is negative when $\sin(\pi x)>0$ that is $2k\pi <\pi x<(2k+1)\pi$ $\forall k\in\mathbb{N}$ and finally $2k.

En otras palabras, las soluciones de $(1)$ son máximas cuando $ 2k y son mínimas cuando $k+1

Entonces podemos ver que la afirmación (A) es falsa.