Un poco de historia del cálculo y por qué lo usamos es mucho más simple que enseñarles cálculo en realidad. Y considero que es suficiente explicar por qué lo necesitamos aquí, así que debería ser accesible, incluso para un estudiante promedio.
No necesitas cálculo para resolver el movimiento con aceleraciones cambiantes. Necesitas cálculo para resolver el movimiento en el caso general. Hay muchos sistemas especializados con aceleraciones cambiantes donde no necesitas cálculo para llegar a una respuesta. Por ejemplo, el movimiento de un satélite alrededor de un planeta se puede hacer fácilmente con álgebra usando las leyes keplerianas. De hecho, ¡Kepler había resuelto el movimiento de los planetas unos 30 años antes de que naciera Newton!
El problema es que siempre tienes que encontrar algún truco geométrico para reemplazar las integrales encontradas en la física basada en cálculo. En el caso de que la velocidad no esté cambiando, eso es fácil. Solo observas el área de los triángulos y las aceleraciones promedio. En el caso en que la velocidad está cambiando pero la aceleración no, es más complicado. Es realmente difícil explicar por qué ese $\frac{1}{2}$ aparece en $\frac{1}{2}at^2$ sin cálculo, pero realmente funciona. Se puede demostrar de manera empírica.
Pero, ¿qué sucede si la aceleración está cambiando, y no de una manera conveniente con una respuesta simple? Bueno, si no tienes cálculo, lo mejor que puedes hacer es hablar de "aceleración promedio", la ecuación usual de $\frac{v_f-v_i}{\Delta t}$. Y luego puedes señalar algunos ejemplos obvios donde la aceleración promedio es insuficiente. Puedes mostrar que una aceleración repentina al inicio seguida de una velocidad constante después produce un camino muy diferente a una velocidad constante seguida de una aceleración repentina al final, ¡aunque las aceleraciones promedio y las velocidades finales sean las mismas!
En este punto, lo mejor que puedes hacer es señalar los problemas que llevan al deseo de inventar cálculo. Observa que, si lo divides en dos intervalos, obtienes una medida más precisa de lo que sucede porque las inexactitudes que implican asumir una aceleración constante durante un periodo (la aceleración promedio) se mantienen, cuando sabemos que no es así. Puedes empezar a dividir este problema en partes más pequeñas. En cálculo llamamos a esto descomposición de este problema un suma de Riemann.
Así que puedes obtener partes más pequeñas, consiguiendo aproximaciones mejores y mejores, pero ¿puedes llegar a "lo correcto" alguna vez? ¿Puedes llegar a una solución cerrada real para el movimiento? Nota que el $\Delta t$ en el denominador cada vez se acerca más a 0... ¿puedes simplemente igualarlo a 0 y encontrar el resultado? Bueno, no. No funciona. Pero ¿podemos hablar de qué sucede a medida que se hace más pequeño y más pequeño, volviéndose infinitesimalmente pequeño?
Resultó que no pudimos durante mucho tiempo. Las paradojas de Zenón sobre cómo un hombre no puede llegar al final de un campo de fútbol porque primero debe llegar a la mitad, pero primero debe llegar a la mitad de la mitad, y así sucesivamente, fueron rampantes durante miles de años. Es difícil hacer matemáticas con infinitesimales. Muchas cosas que pensamos que son fáciles resultan ser difíciles.
El cálculo que Newton y Leibniz inventaron originalmente se llamaba "el cálculo de infinitesimales." Un cálculo es solo un método de cálculo, por lo que "cálculo" es en realidad un nombre pobre, pero este cálculo fue tan importante después de miles de años, que eventualmente simplemente se llamó "el cálculo," y más tarde se adueñó de la palabra entera y se convirtió en "cálculo."
Lo especial de su cálculo fue que manejaba infinitesimales de manera rigurosa de una forma que coincidía con nuestra intuición sobre cómo funcionaba el mundo real. Sabíamos que Zenón estaba equivocado -- puedes caminar hasta el otro lado de un campo (en realidad estaba abordando otra cuestión metafísica, pero eso está bien). ¡Simplemente no podíamos explicar por qué podíamos hacerlo! Con el cálculo de infinitesimales en mano, finalmente pudimos predecir el movimiento usando ecuaciones simples: Las Leyes de Movimiento de Newton. Podía evitar los detalles desagradables de las supertareas de Zenón y mostrar exactamente cómo deberían moverse las cosas!
Lo bueno de esto es que puedes acercarte arbitrariamente al movimiento correcto sin cálculo, incluso en el caso general, solo con sumas de Riemann. De hecho, cuando las computadoras calculan el movimiento, tendemos a hacer algo casi exactamente como eso. Así que no necesitas cálculo para acercarte al movimiento correcto para una aceleración general. Sin embargo, lo necesitas para pasar de "cerca" a "la respuesta correcta."
Y, algo quizás frustrante para un estudiante de física sin cálculo: ¡la física es mucho más simple cuando está basada en cálculo! Esa fea ecuación de $x(t)=\frac{1}{2}at^2+v_0t+x_0$ que tienen que memorizar es simplemente $F=ma$, integrada dos veces, en el caso muy especial de $a$ siendo una constante. Y cuando llegas a la astronáutica, donde la masa cambia y se convierte en $F=ma+\frac{dm}{dt}v$, descubres que ambos en realidad son simplemente $F=\frac{d}{dt}(mv)$, bajo diferentes disfraces. Muchas de las cosas que tu estudiante tiene que memorizar ahora son solo un montón de casos especiales de la versión basada en cálculo más simple.
Y tal vez (solo tal vez) ¡eso los anime a querer aprender cálculo!
