Explicando cómo no podemos dar cuenta de las preguntas sobre aceleración que cambian sin cálculo.

Question

Para contextualizar, soy un maestro de física de secundaria.

Estoy enseñando a los estudiantes sobre los conceptos básicos de la fuerza electromagnética entre dos cargas puntuales. La ecuación que utilizamos es $F=\frac{kq_1q_2}{r^2}$.

Esto nos da la fuerza instantánea y también nos da la aceleración instantánea. Tengo un estudiante que me pregunta por qué no analizamos las fuerzas y la aceleración en constante cambio a medida que los dos cuerpos se mueven hacia o alejándose el uno del otro. Por ejemplo, un protón y un electrón que comienzan a cierta distancia y aceleran hacia el otro.

La mejor respuesta que puedo dar es que no podemos analizar esto sin el uso de cálculo para permitir una aceleración cambiante. Este estudiante en particular es bastante avanzado, pero estoy buscando una respuesta que pueda usar a medida que avance en mi carrera.

En general, mi pregunta es si hay una explicación mejor que pueda darles que proporcione una comprensión más profunda. ¿O si cualquier comprensión de la aceleración cambiante requiere el uso de cálculo en todas o en la mayoría de las circunstancias? No estoy seguro si solo necesito una comprensión más profunda de dónde se deriva la ecuación o cómo se resumen estas interacciones en la simple ecuación.

Esto también, por supuesto, es para mi propio conocimiento.

Answer 1

¿Qué tal mantenerlo simple?

• A partir de la ecuación anterior, las cargas crean una fuerza.
• Sabemos que una fuerza hará que los objetos se muevan,
• por lo tanto, probablemente cambiando su separación ($r$ arriba).
• Esto cambiará la fuerza en los objetos.
• Lo que hará que se muevan de manera diferente,
• probablemente cambiando su separación, etc, etc, ad infinitum...

Como se puede ver, solo usando las ecuaciones básicas conduce a un cálculo circular que no puede resolverse de esta manera.

La única manera de resolver este tipo de problema es, en lugar de utilizar las matemáticas de valores estáticos (que no cambian) (como la velocidad instantánea o la fuerza, etc.), utilizar las matemáticas de valores cambiantes (como el concepto de velocidad siendo un cambio de posición relativo al tiempo) - que es el cálculo, específicamente el cálculo diferencial.

Answer 2

por qué no analizamos las fuerzas cambiantes y la aceleración mientras los dos cuerpos se mueven hacia o alejándose entre sí. Por ejemplo, un protón y un electrón comenzando a cierta distancia y acelerando el uno hacia el otro.

Cuando los cuerpos cargados son macroscópicos, esto sería válido pero:

1. las ecuaciones resultantes son iguales a las ecuaciones de movimiento para un sistema de dos cuerpos en la mecánica newtoniana (doble estrella, o el sistema Tierra-Luna), por lo que matemáticamente el modelo es comprendido - las trayectorias de las partículas son secciones cónicas, ya sea elipses (estado ligado) o hipérbolas (movimiento infinito, dispersión). Este es aún un tema enseñable sin métodos de cálculo formal, y los resultados básicos son enseñados (leyes de Kepler). El análisis completo requiere cálculo o cinemática y geometría avanzadas (secciones cónicas, hodógrafos) y dependiendo del país y la escuela, este es el nivel más alto de matemáticas al que los estudiantes de secundaria están expuestos, o más a menudo, es demasiado avanzado y no se enseña.

2. en la práctica, esta situación (cuerpos macroscópicos cargados acelerando) casi nunca ocurre, porque los cuerpos macroscópicos no llevan una carga sustancial, tienden a ser cercanos a neutrales y las fuerzas eléctricas son más complicadas (debido a cuerpos polarizados) o insignificantes en comparación con otras fuerzas (gravedad, presión, fricción...). Entonces el modelo es un poco oscuro, describiendo una situación improbable con poco beneficio para los estudiantes.

Cuando las partículas son microscópicas, como en el sistema protón-electrón, este tipo de modelo es menos físicamente válido. Personas en el pasado (Thomson, Larmor, Rutherford y otros pioneros de la física nuclear y de partículas) intentaron analizar la interacción entre el electrón y el núcleo (y el protón en particular) de esta manera (a través de fuerzas de Coulomb y mecánica newtoniana), pero encontraron que este modelo tiene una validez limitada: corresponde a la experiencia solo cuando las partículas están lejos entre sí y tienen poca velocidad (dispersión de Rutherford), y luego el movimiento es como el sistema de dos cuerpos mencionado anteriormente en la mecánica newtoniana. Pero cuando las partículas se acercan, o las partículas se mueven muy rápido (cerca de la velocidad de la luz), este modelo no es tan fructífero. No puede describir propiedades de los átomos como su tamaño, o sus niveles de energía, o la generación de nuevas partículas en la dispersión, sin suposiciones más avanzadas que cambian completamente el modelo.

Entonces, gran parte de la razón por la que no se ve este tipo de modelo analizado en los libros de texto es debido a su escasa utilidad para enseñar a los estudiantes las partes importantes de la física.

Answer 3

Creo que la mejor manera de explicar por qué no a tus estudiantes más curiosos es mostrarles cómo hacerlo.

Primero, es importante tener en cuenta que la conservación de la energía (principalmente el trabajo) nos permite analizar situaciones donde las fuerzas no son constantes. Lo que no podemos (generalmente) hacer directamente con la conservación de la energía es tener una idea de lo que sucede en función del tiempo.

Tal vez una buena manera de comenzar tu explicación sea con las ecuaciones cinemáticas simples. Tus estudiantes deben saber que para el movimiento en 1D, el área bajo un gráfico de $F$ vs. $x$ será el trabajo realizado por la fuerza $F$. Puedes comenzar con las ecuaciones cinemáticas, mostrando que el trabajo simplemente será $F\Delta x$. Luego, puedes pasar a un resorte, para mostrar que el trabajo es $\dfrac12k\Delta\left(x^2\right)$, ambos corresponden al área bajo un gráfico. A partir de ahí, puedes proceder a la fuerza eléctrica (o de la gravedad) - el área bajo el gráfico de fuerza vs. posición corresponderá a la energía potencial.

Answer 4

Hay dos problemas a los que se enfrentan los estudiantes en un problema donde la aceleración es una función de la posición $a = \mathrm{a}(x)$.

1. El problema del dominio del tiempo. A medida que el sistema evoluciona y las posiciones cambian (con el tiempo) la aceleración también cambia con el tiempo. Pero en este punto se desconoce cómo varía la aceleración como función del tiempo. Bajo aceleración constante, como en el movimiento de proyectiles, este problema es trivial de superar. Para sistemas más complejos, generalmente es el último paso en la solución introducir el dominio del tiempo. Dependiendo de lo que ya sepas, puedes utilizar una de las siguientes expresiones de cálculo

$$\begin{aligned} \Delta t & = \int \frac{1}{\mathrm{v}(x)} \,{\rm d}x \\ \Delta t & = \int \frac{1}{\mathrm{a}(v)} \,{\rm d}v \end{aligned}$$

2. El problema del área bajo la curva. Incluso antes de introducir el dominio del tiempo y examinar el problema desde el punto de vista de la conservación de la energía, el trabajo total realizado por una fuerza que varía con la posición implica el área bajo de la curva. $$ W =\int \mathrm{F}(x)\,{\rm d}x $$ Para sistemas más simples como los resortes, el área es fácil de estimar sin cálculo, pero no espero que los estudiantes aborden el área bajo de $1/x^2$ sin cálculo, sin importar cuán avanzados estén. Esta es la parte donde se necesita una función potencial $\mathrm{V}(x)$ que es el resultado de la integración anterior, $ W = \mathrm{V}(x_2) - \mathrm{V}(x_1)$

Answer 5

Varias respuestas hablan sobre usar una explicación paso a paso: calcular la fuerza, calcular la aceleración, mover un poco la partícula, repetir. Luego omiten el paso realmente divertido. En realidad, resuelva el problema con una computadora. Muestre al estudiante lo que hacen los físicos en la investigación y la enseñanza.

Use esto como una gran motivación para enseñar programación y métodos numéricos. ¡NASA hace cálculos de esta manera! Resolver un problema de cálculo manejable con la computadora es el primer paso para resolver integrales casi imposibles.

Use blocs de notas Jupyter/python con la representación gráfica (subconjunto pyplot del paquete matplotlib) para mostrar que la aproximación numérica es una gran herramienta de física.

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